【图论】已知度数列情况下的简单无向图的判断方法

在已知度数列的情况下，如何判断它是否为简单无向图呢？

第一步·判断是否为无向图

利用握手定理及其推论：

1.无向图的顶点度数之和等于边数的两倍。
2.对于无向图，有奇数个度的顶点必为偶数个。
凡是不满足的，就不是无向图。

第二步·判断是否为简单图

判断是否为简单图即判断是否可图化，
而可图化的判断则需要用到Havel–Hakimi定理。
由于此定理的文字表述较为复杂，故在此只给出方法。

1.对已知的度数列进行降序排列（相等的放在一起）。
2.假设最大的度为k（已经排在首位），删去最大的度数k，对后面的k个度数都进行减1，再进行降序排列，由此得到一个新度数列。
3.重复第2步的操作。
4.若在此期间出现了负数，则不是简单图；若最后剩下的度数列的度数均为0.则为简单图。

下面给出几个例子

一. 1，1，1，2，3
显然度数之和为偶数，也有偶数个奇数度。
首先进行降序排列：3，2，1，1，1
删去最大度数3，将其后面的3个度数减一：1，0，0，1
重新排序：1，1，0，0
删去最大数1，将其后面的1个度数减一：0，0，0
发现最后所有度数都变成了0，则可以构成简单无向图。

二.2，2，2，2，2
显然度数之和为偶数。
首先进行降序排列：2，2，2，2，2
删去最大度数2，将其后面的2个度数减一：1，1，2，2
重新排序：2，2，1，1
删去最大度数2，将其后面的2个度数减一：1，0，1
重新排序：1，1，0
删去最大度数1，将其后面的1个度数减一：0，0
发现最后所有度数都变成了0，则可以构成简单无向图。

三.1，3，3，3
显然度数之和为偶数，也有偶数个奇数度。
首先进行降序排列：3，3，3，1
删去最大度数3，将其后面的3个度数减一：2，2，0
无需重新排序。
删去最大度数2，将其后面的2个度数减一：1，-1
发现出现了负数，则仅仅构成无向图，不能构成简单无向图。