子数组和的最大值最小问题

顾名思义，将一个数组分为k个子数组，求解怎么分才可以使得这些子数组中和最大的值最小。

案例一：在D天内送达包裹的能力

传送带上的包裹必须在 D 天内从一个港口运送到另一个港口。

传送带上的第 i 个包裹的重量为 weights[i]。每一天，我们都会按给出重量的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。

返回能在 D 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], D = 5
输出：15
解释：
船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：1, 2, 3, 4, 5
第 2 天：6, 7
第 3 天：8
第 4 天：9
第 5 天：10

请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。 

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/capacity-to-ship-packages-within-d-days
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这个案例是很完全契合的子数组和的最大值最小问题。

解决方案：二分+贪心

首先获得运载能力的上界和下界，然后从上界与下界之间进行二分查找，找到最小的满足条件的运载能力。

对于条件是否满足使用贪心策略进行判断，即从前之后依次分割，使分割的部分的值小于运载能力情况下尽可能的大，最后判断分割的块数是否小于D。

对于上界下界的选取，由于一次至少得运一次包裹，因此运载能力应该大于包裹中的最大值，所有包裹至少应该运送一次，因此最大运载能力应该为所有包裹之和。

实现代码如下：

class Solution {
    public int shipWithinDays(int[] weights, int D) {
        int left = 0, right = 0; //left = max(weight) right = sum(weight);
        for(int weight : weights){
            left = Math.max(left, weight);
            right += weight; 
        }
        while(left < right - 1){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(canShip(weights, D, mid)){
                right = mid;
            }else{
                left = mid;
            }
        }
        if(canShip(weights, D, left)){
            return left;
        }
        return right;
    }
    public boolean canShip(int[] weights, int D, int capcity){
        int temp = 0;
        for(int i = 0; i < weights.length; i++){
            temp += weights[i];
            if(temp > capcity){
                D--;
                temp = weights[i];
            }
        }
        if(temp != 0){
            D--;
        }
        return D >= 0;
    }
}

案例二：

珂珂喜欢吃香蕉。这里有 N 堆香蕉，第 i 堆中有 piles[i] 根香蕉。警卫已经离开了，将在 H 小时后回来。

珂珂可以决定她吃香蕉的速度 K （单位：根/小时）。每个小时，她将会选择一堆香蕉，从中吃掉 K 根。如果这堆香蕉少于 K 根，她将吃掉这堆的所有香蕉，然后这一小时内不会再吃更多的香蕉。  

珂珂喜欢慢慢吃，但仍然想在警卫回来前吃掉所有的香蕉。

返回她可以在 H 小时内吃掉所有香蕉的最小速度 K（K 为整数）。

示例 1

输入: piles = [3,6,7,11], H = 8
       输出: 4

来源：力扣（LeetCode）
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该问题做法跟问题一相同，还是找到上下界，从上下界之间二分查找满足条件的解。对于条件的判断依然使用贪心策略。由于每次至少应该吃一根，速度的下界为1，一次最多只能吃一堆，因此上界为所有堆中的最大值。

实现代码如下：

class Solution {
    public int minEatingSpeed(int[] piles, int H) {
        int left = 1, right = 0;
        for(int pile : piles){
            right = Math.max(right, pile);
        }
        while(left < right - 1){
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(canEated(piles, H, mid)){
                right = mid;
            }else{
                left = mid;
            }
        }
        if(canEated(piles, H, left)){
            return left;
        }
        return right;

    }
    public boolean canEated(int[] piles, int H, int speed){
        for(int pile : piles){
            int num = pile / speed;
            if(pile % speed != 0){
                num++;
            }
            H -= num;
            if(H < 0){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

补：最小子数组和最大问题

将数组nums分割为k份，使最小的子数组和最大 。

大体思路与最大子数组和最小相同，先找到上下界，然后再上下界之间二分搜索。不过需要注意的是判断当前sum是否为最小子数组和时，从左至右使得每份之和都刚好大于等于sum，最终判断得到的块数，若大于等于k则说明sum为最小子数组和否则说明sum不为最小子数组和。实现代码如下：

    public static int maxmizeMinArraySum(int[] nums, int k) {
        int left = 0, right = 0;
        // 找到上下界
        for(int num : nums) {
            left = Math.max(left, num);
            right += num;
        }
        while(left < right - 1) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(isMinSum(nums, k, mid)) {
                left = mid;
            }else {
                right = mid;
            }
        }
        if(isMinSum(nums, k, right)) {
            return right;
        }
        return left;
        
    }
    /**
     * @return 当前sum是否为最小的子数组和
     */
    public static boolean isMinSum(int[] nums, int k, int sum) {
        int temp = 0;
        for(int num : nums) {
            temp += num;
            if(temp >= sum) {
                k--;
                temp = 0;
            }
        }
        return k <= 0;
    }