费马大定理与费马小定理

费马大定理

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。
他断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解。
德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。

证明过程：
过于麻烦，请自己百度。

推荐例题
hdu6441:
地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6441

题意：对于xⁿ + yⁿ = zⁿ这个式子给出x和n，问你y和z的值。

解题思路：
由费马大定理知道，当n>2的时候，是没有正整数解的。又当n=0时，也是无解的，所以直接输出-1，-1。
当n=1时，只要输出 1 和 x+1就行了。
当n=2时，式子变为了x² + y² = z²,进行变换后得到，x² = z² - y² => x² = (z-y)(z+y)，又容易得到z+y一定大于z-y，所以找到x²的两个约数，让z+y等于大的，z-y等于小的。我们又看到联立方程组后 得到：2z = 大的约数+小的约数。 为了让z为整数，两约数之和必须为偶数。

AC代码：

#include 
#include 

typedef long long ll;

using namespace std;

int main()
{
	int t;
	
	cin >> t;
	
	while (t--)
	{
		ll n, a;
		
		scanf("%lld %lld", &n, &a);
		
		if (n > 2 || n == 0)
		{
			printf("-1 -1\n");
		}
		else if (n == 1)
		{
			printf("1 %lld\n", a+1);
		}
		else
		{
			ll b = 0, c = 0;
			ll d = pow(a, 2);
			
			for (int i=1; i<=sqrt(d); i++)
			{
				if (d % i == 0 && (i+d/i)%2 == 0)
				{
					c = (i+d/i)/2;
					b = i>d/i ? (i-c):(d/i-c);
					
					printf("%lld %lld\n", b, c);
					break;
				}
			}
		}
	}
	
	return 0;
}

费马小定理

费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。

推荐例题：
hdu6440
地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6440

题意：给你一个数字p，让你打印出符合(m+n)^p=m^p+n^p的加法表和乘法表。

解题思路：由费马小定理知道 a^（p-1）≡1（mod p），又由题意我们看到a^p = a^p-1a，因此我们得到 a^p≡a（mod p）。设a等于m+n的话，得到(m+n)^p = (m+n) mod p。对于m^p+n^p，如果对其模p得到（m^p mod p + n^p mod p）mod p，由上面定理的到(m+n) mod p。因此可得出：
(m+n)^p = (m+n) mod p = m^p+n^p ，对于加法表我们推理出来了，乘法表只要把(mn)看作a就行了。
AC代码：

#include 

using namespace std;

int main()
{
	int t;
	
	cin >> t;
	
	while (t--)
	{
		int p;
		
		cin >> p;
		
		for (int i=0; i