有符号数表示法（原码、补码、反码、移码）

最近在看哈工大刘宏伟老师的《计算机组成原理》，总结其中关于有符号数的几种表示法，顺便感谢老师这么好的公开课。

首先先明确两个概念：

• 真值：带符号的数，如+101，-101
• 机器数：符号数字化的数，如0101，1101

下面结束有符号数的四种表示法

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1. 原码表示法

定义：

• 对于整数
  $$[x{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}0,x& 2^n>x\ge 0\\ 2^n-x& 0\ge x>-2^n\end{array}$$
  其中$x$为真值，$n$为整数的位数。
  例子：
  $x=+1110[x{]}_{原}=0,1110$
  $x=-1110[x{]}_{原}=2^4+1110=1,1110$
  这里逗号用于分割符号位和数值部分，实际计算机存储中不存在，下同。
• 对于小数
  $$[x{]}_{原}=\{\begin{array}{ll}x& 1>x\ge 0\\ 1-x& 0\ge x>-1\end{array}$$
  例子：
  $x=+0.1101x_{原}=0.1101$
  $x=-0.1101x_{原}=1+0.1101=1.1101$
  这里用小数点将符号位和数值位分隔开，下同

Note: $[+0{]}_{原}̸=[-0{]}_{原}$
优点： 简单、直观。
缺点： 没有统一加减法（对于两个数相加，如果用原码表示法，可能需要做加法，也可能需要做减法，对运算器而言比较麻烦。）

2. 补码表示法

优点： 统一加减法
定义：

• 对于整数
  $$[x{]}_{补}=\{\begin{array}{ll}0,x& 2^n>x\ge 0\\ 2^{n+1}+x& 0>x\ge -2^n(mod{2}^{n+1})\end{array}$$
  其中$x$为真值，$n$为整数的位数。
  例子：
  $x=+1010[x{]}_{补}=0,1010$
  $x=-1011000[x{]}_{补}=2^{7+1}+(-1011000)=1,0101000$
• 对于小数
  $$[x{]}_{补}=\{\begin{array}{ll}x& 1>x\ge 0\\ 2+x& 0>x\ge -1(mod2)\end{array}$$
  例子：
  $x=+0.1110[x{]}_{补}=0.1110$
  $x=-0.1100000[x{]}_{补}=2+(-0.1100000)=1.0100000$
  Note$[+0{]}_{补}=[-0{]}_{补}$

求补码的快捷方式：
当真值为正时，补码与原码相同；当真值为负时，补码可用原码除符号位外，按位取反，末位再加1得到。
通过补码求原码：
当真值为正时，原码与补码相同；当真值为负时，原码可用补码除符号位外，按位取反，末位再加1得到。

3. 反码表示法

定义：

• 对于整数
  $$[x{]}_{反}=\{\begin{array}{ll}0,x& 2^n>x\ge 0\\ 2^{n+1}-1+x& 0\ge x>-2^n(mod{2}^{n+1}-1)\end{array}$$
  其中$x$为真值，$n$为整数的位数。
  例子：
  $x=+1101[x{]}_{反}=0,1101$
  $x=-1101[x{]}_{反}=2^{4+1}-1+(-1101)=1,0010$
• 对于小数
  $$[x{]}_{反}=\{\begin{array}{ll}x& 1>x\ge 0\\ 2-2^{-n}+x& 0>x\ge -1(mod2-2^{-n})\end{array}$$
  其中$x$为真值，$n$为小数的位数。
  例子：
  $x=+0.1101[x{]}_{反}=0.1101$
  $x=-0.1010[x{]}_{补}=2-2^{-4}+(-0.1010)=1.0101$
  Note: $[+0{]}_{反}̸=[-0{]}_{反}$

三种机器数小结

• 最高位为符号位，书写上用“，”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开。
• 对于正数，原码=补码=反码
• 对于负数，符号位为1，其数值部分将原码数值部分按位取反末位加1—>补码；原码数值部分按位取反—>反码。

4. 移码表示法

补码表示法的不足：
补码很难直接判断其真值的大小。如：$x=+21,[x{]}_{补}=0,10101;x=-21,[x{]}_{补}=1,01011$；很难根据补码直接判断出两个数真值的大小（需要根据符号位分情况比较）。
移码定义:
$$[x{]}_{移}=2^n+x(2^n>x\ge -2^n)$$
其中$x$为真值，$n$为整数的位数。

例子
$x=+10100,[x{]}_{移}=2^5+10100=1,10100;$
$x=-10100,[x{]}_{移}=2^5-10100=0,01100$
Note:
1. 移码与补码只相差一个符号位（符号位取反，数值位相同）
2. $[+0{]}_{移}=[-0{]}_{移}$
3. 只有整数移码的定义，因为移码主要用于表示浮点数的阶码（阶码都是整数），这样就能很方便的判断浮点数阶码大小。