力扣刷题笔记 309. 最佳买卖股票时机含冷冻期 C#

今日签到题，题目如下：

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

来源：力扣（LeetCode）
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今天的提交记录是这样的：

有点绝望，得亏我看到题目就想到要用动态规划。

我的思路大概是这样的，使用长度为 n 的 int 数组 dp记录状态，然后逆序遍历 prices ，在其中用一大堆乱七八糟的条件进行状态转移。虽然中间考虑过存储买入、卖出、冻结等等不同状态，但是没想好怎么存，感觉是每个 dp[i] 开辟一个 i 长度的数组记录这些状态，所以就没有使用。没有得出正确题解，具体思路就不叙述了。

好吧，还是看官方题解，存储不同状态是没有错的，但是并不是存储很长的一个最优解状态，而是使用长度为 n*3 的二维数组 dp，dp[i,0] 表示 i 天之后处于持股状态（可能是第 i 天买入，也可能是第 i 天之前的某一天买入），dp[i,1] 表示 i 天之后处于冻结状态（即第 i 天卖出，只可能是这种情况），dp[i,2] 表示 i 天之后即不持股也不冻结（即第 i 天是冻结后的第一天之后的某一天）

看了题解之后我先是自己分了一次状态，我分状态的方式就是当天买入、卖出、冻结，但是实际上，这样不包括没有任何操作的状态，但是实际上没有任何操作的状态又分为持股和不持股的两种状态。上文中官方题解的方法则包含了所有状态。

然后讨论状态转移：

• dp[i,0]，第 i 天之后为持股状态，两种可能的情况：

1. 如果是第 i 天买入，则前一天为非持股非冻结状态，即状态转移自 dp[i-1,2]，又有第 i 天买入，所以利润减去当天价格即 prices[i]，结果表达为 dp[i-1,2] - prices[i]。
2. 如果是第 i 天之前的某一天买入，则前一天也为持股状态，即状态转移自 dp[i-1,0]，因为已经持股了，而且不卖出，即当天没有任何操作，结果表达式就是 dp[i-1,0]。

需要求最大利润，所以 dp[i,0] 取两个可能的较大值，表达式即为 dp[i,0] = Math.Max(dp[i - 1,0],dp[i-1,2] - prices[i])。

• dp[i,1]，第 i 天之后为冻结状态，此时只有当天是卖出才能出现第二天是冻结的情况。因为当天卖出，所以前一天必须持股，状态转移自 dp[i-1,0]，还需要加上当天卖出的收益即当天的价格，结果表达式为 dp[i,1] = prices[i] + dp[i - 1,0]。其实这里我一开始写成了 prices[i] - dp[i - 1,0]，鬼知道我当时在想什么。
• dp[i,2]，第 i 天之后为非持股非冻结状态，两种可能的情况：

1. 冻结后的第一天，那么前一天就是冻结状态，所以状态转移自 dp[i-1,1]，没有任何操作。
2. 冻结后的第二天开始的某一天，那么前一天也是非持股非冻结状态，所以状态转移自 dp[i-1,2]，没有任何操作。

最后确认边界条件，因为所有的状态转移自前一天的状态，所以只需要确定 dp[0,n] 的三个状态

• dp[0,0]，因为是第一天，所以只能是当天买入，dp[0,0] = -prices[0]。
• dp[0,1]，不持股，但是当天又是卖出操作，大概算是无效交易吧，所以利润还是 0，dp[0,0] = 0。
• dp[0,2]，因为没有操作，所以 dp[0,0] = 0。

复杂度分析：

只需要遍历一次数组，所以时间复杂度为 O(N)。需要一个 n*3 的二维数组保存状态，所以空间复杂度为 O(N)。题解中有提到因为只需要状态都转移自 i - 1，所以实际可以只使用三个变量不断地更新状态，空间复杂度降至 O(1)，我自己没有实现就是了。

以下为自己提交的代码：

public class Solution {
    public int MaxProfit(int[] prices) {
        if (prices.Length == 0)
        {
            return 0;
        }
        int[,] dp = new int[prices.Length,3];
        // 0 为第二天持股（包括买入和持有），1为第二天冻结，2为第二天不持股期且不冻结
        dp[0,0] = -prices[0];
        dp[0,1] = 0;
        dp[0,2] = 0;
        for (int i = 1;i