半截木头渡海洋
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正交性原理与维纳霍夫（正则）方程

有期望信号d（n），纯净信号x（n），以及噪声信号g（n）;

有滤波器h（m）,以及滤波器输出信号y（n），滤波器输出纯净信号x的估计值y，并且使y与x误差的期望为0.

正交性原理与维纳霍夫（正则）方程_第1张图片

d(n)=x(n)+g(n)

e(n)=x(n)-y(n)

E\left \{ \left | e(n) \right |^{2} \right \}

R_{xy}(m-j)=E\left \{ x(n-j)\cdot y(n-m) \right \}                       （相关性）

 

根据最小均方差准则设计滤波器,滤波器设计问题转为E\left \{ \left | e(n) \right |^{2} \right \}=E\left \{ \left ( x(n)-\sum_{m=0}^{\infty }h(m)\cdot d(n-m) \right )^{2} \right \}函数求驻点的问题，在驻点处E\left \{ \left | e(n) \right |^{2} \right \}能够取得极值，如果能证明该式有连续二阶偏导，且得到的hesse矩阵正定，则求取的极值点就是该式的严格局部极小值点，这实际上就是一个非线性规划中的无约束最优化问题，进一步如果能证明E\left \{ \left | e(n) \right |^{2} \right \}是凸的，那么该式局部极小值就是全局极小值。h(j)为变量，函数对h(j)求偏导,当求偏导结果为0时候，均方差取得最小值，此时的滤波器权值为最优滤波器权值：

\frac{\partial E\left \{ \left | e(n) \right |^{2} \right \}}{\partial h(j)}\\ =\frac{\partial E\left \{ (x(n)-h(n)*d(n))^{2} \right \}}{\partial h(j)}\\ =\frac{\partial E\left \{ x^{2}(n)-2x(n)\cdot h(n)*d(n)+\left (h(n)*d(n) \right )^{2}\right \} }{\partial h(j)}\\ =\frac{\partial E\left \{ x^{2}(n) \right \}}{\partial h(j)}-E\left \{ 2x(n)\cdot d(n-j) \right \}+2\cdot \left \{ \sum_{m=0}^{n}h(m)\cdot E(x(n-m)\cdot d(n-j)) \right \}\\ =0+2R_{dx}(j)-2\sum_{m=0}^{n}h(m)\cdot R_{dd}(j-m)\\ =2R_{dx}(j)-2h(j)*R_{dd}(j)

当以上式子=0时，整理得到维纳霍夫方程：

R_{dx}(j)=h(j)*R_{dd}(j)

分别对等式两边进行傅里叶变换，将时域计算转到频域内处理，时域内的相关转到频域内表现为(互)功率谱，时域内的卷积转换到频域内表现为相乘：

P_{dx}(\omega )=H(\omega )\cdot P_{dd}(\omega )

整理得维纳滤波器权系数计算公式：

H(\omega )=\frac{P_{dx}(\omega )}{P_{dd}(\omega )}

 

同时注意到：

\frac{\partial E\left \{ x^{2}(n)-2x(n)\cdot h(n)*d(n)+\left (h(n)*d(n) \right)^{2}\right \} }{\partial h(j)}\\ =\frac{E \partial \left \{ x^{2}(n)-2x(n)\cdot h(n)*d(n)+(h(n)*d(n)) ^{2}\right \} }{\partial h(j)}\\ =E\left \{ 0-2x(n)\cdot d(n-j)+2y(n)\cdot d(n-j) \right \}\\ =-2E\left \{ e(n)\cdot d(n-j) \right \}

当上式=0时候，经过整理即得到正交性原理:当=0时候，均方差取得最小值

也就是说正交性原理与维纳霍夫方程是同一个条件E\left \{ \left | e(n) \right |^{2} \right \}=0的两种表达方式，将求解的结果写成期望的形式得到的就是正交性原理，写成相关的形式就是维纳霍夫方程。

以上，我们虽然得到了维娜霍夫方程的表达形式。但是在设计维纳滤波器的过程中，目标信号x无法获取，因此就无法得到纯净信号x与期望信号d之间的相关向量，也就是说上述维娜霍夫方程是无法应用在实际信号处理过程之中的。对于这个问题我们可以通过使用替代的方法对以上方程进行改造。我们将纯净信号表示成期望信号d与噪声g的差值，同时我们假设纯净信号x与噪声g之间相互独立，这样我们就能将期望信号d与纯净信号x之间的相关性重新表示如下：

R{_d_x} = E[d(n)x(n)]\\ = E[d(n)*[d(n)-g(n)]]\\ = E[d(n)d(n)] - E[[x(n)+g(n)]*g(n)]

因为 x与g相互独立，所以Rxg = 0，带入上式

R{_d_x} = E[d(n)*d(n)]-E[g(n)*g(n)]\\=R{_d_d}-R{_g_g}

重新整理维纳霍夫方程，得到如下形式：

R_{dd} - R_{gg}=h(j)*R_{dd}(j)

重新整理维纳滤波器的形式

H(\omega )=\frac{P_{dd}(\omega )-P_{gg}(\omega )}{P_{dd}(\omega )}

根据公式可以看出，维纳滤波器的系数在特定条件下（滤波器的输入纯净信号与输入的噪声不想关）可以通过输入的期望信号d和噪声功率完全获得，而且噪声可以通过设置前端无语音段的平均功率作为初始条件然后在每一次处理过程中迭代获得。

 

 

概念补充：

希尔伯特空间：属于泛函分析的核心概念，是一个满足多项式计算法则、具有范数概念（距离的一个子概念）、满足内积运算，并具有完备性（空间内的极限运算结果仍落在空间范围内）特点的特殊空间。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量，这个希尔伯特空间则可以代表一个系统，每个希尔伯特空间内都有一族标准正交基，空间内的任何元素都可以用这族标准正交基或其倍数的和表示。

希尔伯特空间元素 ：

    a= \left ( a1,a2,...,an \right )

希尔伯特空间元素：

    b=\left ( b1,b2,...,bn \right )

两元素的内积：

    \left \langle a,b \right \rangle=a\cdot b^{T}=a1\cdot b1+a2\cdot b2+...+an\cdot bn

    同时，如果 = 0,则认为元素a与元素b正交。

a的范数（类似于线性空间中的距离定义）

    \left \| a \right \|=\sqrt{\left \langle a,a \right \rangle}

正交性原理：当> = 0时候，由\eta_{i}估计出来的\hat{\xi }=\sum a_{i}\cdot \eta _{i}与原来的\xi值之间的均方误差e最小。

关于共轭的一个小知识点：

若X_{n}\cdot Y_{n}^{*}=0，则X_{n}^{*}\cdot Y_{n}=0                                          （知识点1）

X_{n}=\left | a \right |\cdot e^{j\theta_{1}}

Y_{n}=\left | b \right |\cdot e^{j\theta _{2}^{}}

X_{n}\cdot Y_{n}^{*} =\left | a\cdot b \right |\cdot e^{j\left ( \theta _{1} -\theta _{2}\right )} =\left | a\cdot b \right |\cdot cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\left | a\cdot b \right |\cdot sin(\theta _{1}-\theta _{2})\cdot j

X_{n}^{*}\cdot Y_{n} =\left | a\cdot b \right |\cdot e^{j\left ( \theta _{2} -\theta _{1}\right )} =\left | a\cdot b \right |\cdot cos(\theta _{2}-\theta _{1})+\left | a\cdot b \right |\cdot sin(\theta _{2}-\theta _{1})\cdot j

要想式子等于0，实部、虚部必须同时为0，分别对比以上式子中的虚部与实部，可证知识点1

X_{n}\cdot Y_{n}^{*}=\left (X_{n}^{*}\cdot Y_{n} \right )^{*}

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  • jsonObject的使用 bijian1013 javajson
            在项目中难免会用java处理json格式的数据，因此封装了一个JSONUtil工具类。 JSONUtil.java package com.bijian.json.study; import java.util.ArrayList; import java.util.Date; import java.util.HashMap;
  • [Zookeeper学习笔记之六]Zookeeper源代码分析之Zookeeper.WatchRegistration bit1129 zookeeper
    Zookeeper类是Zookeeper提供给用户访问Zookeeper service的主要API，它包含了如下几个内部类     首先分析它的内部类，从WatchRegistration开始，为指定的znode path注册一个Watcher，   /** * Register a watcher for a particular p
  • 【Scala十三】Scala核心七：部分应用函数 bit1129 scala
    何为部分应用函数？ Partially applied function: A function that’s used in an expression and that misses some of its arguments.For instance, if function f has type Int => Int => Int, then f and f(1) are p
  • Tomcat Error listenerStart 终极大法 ronin47 tomcat
    Tomcat报的错太含糊了，什么错都没报出来，只提示了Error listenerStart。为了调试，我们要获得更详细的日志。可以在WEB-INF/classes目录下新建一个文件叫logging.properties，内容如下 Java代码  handlers = org.apache.juli.FileHandler, java.util.logging.ConsoleHa
  • 不用加减符号实现加减法 BrokenDreams 实现
            今天有群友发了一个问题，要求不用加减符号(包括负号)来实现加减法。         分析一下，先看最简单的情况，假设1+1，按二进制算的话结果是10，可以看到从右往左的第一位变为0，第二位由于进位变为1。    
  • 读《研磨设计模式》-代码笔记-状态模式-State bylijinnan java设计模式
    声明： 本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步 原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ /* 当一个对象的内在状态改变时允许改变其行为，这个对象看起来像是改变了其类 状态模式主要解决的是当控制一个对象状态的条件表达式过于复杂时的情况 把状态的判断逻辑转移到表示不同状态的一系列类中，可以把复杂的判断逻辑简化 如果在
  • CUDA程序block和thread超出硬件允许值时的异常 cherishLC CUDA
    调用CUDA的核函数时指定block 和 thread大小，该大小可以是dim3类型的（三维数组），只用一维时可以是usigned int型的。 以下程序验证了当block或thread大小超出硬件允许值时会产生异常！！！GPU根本不会执行运算！！！ 所以验证结果的正确性很重要！！！ 在VS中创建CUDA项目会有一个模板，里面有更详细的状态验证。 以下程序在K5000GPU上跑的。
  • 诡异的超长时间GC问题定位 chenchao051 jvmcmsGChbaseswap
    HBase的GC策略采用PawNew+CMS, 这是大众化的配置，ParNew经常会出现停顿时间特别长的情况，有时候甚至长到令人发指的地步，例如请看如下日志： 2012-10-17T05:54:54.293+0800: 739594.224: [GC 739606.508: [ParNew: 996800K->110720K(996800K), 178.8826900 secs] 3700
  • maven环境快速搭建 daizj 安装mavne环境配置
    一 下载maven 安装maven之前，要先安装jdk及配置JAVA_HOME环境变量。这个安装和配置java环境不用多说。 maven下载地址：http://maven.apache.org/download.html，目前最新的是这个apache-maven-3.2.5-bin.zip，然后解压在任意位置，最好地址中不要带中文字符，这个做java 的都知道，地址中出现中文会出现很多
  • PHP网站安全，避免PHP网站受到攻击的方法 dcj3sjt126com PHP
    对于PHP网站安全主要存在这样几种攻击方式:1、命令注入(Command Injection)2、eval注入(Eval Injection)3、客户端脚本攻击(Script Insertion)4、跨网站脚本攻击(Cross Site Scripting, XSS)5、SQL注入攻击(SQL injection)6、跨网站请求伪造攻击(Cross Site Request Forgerie
  • yii中给CGridView设置默认的排序根据时间倒序的方法 dcj3sjt126com GridView
    public function searchWithRelated() {         $criteria = new CDbCriteria;         $criteria->together = true; //without th
  • Java集合对象和数组对象的转换 dyy_gusi java集合
        在开发中，我们经常需要将集合对象（List，Set）转换为数组对象，或者将数组对象转换为集合对象。Java提供了相互转换的工具，但是我们使用的时候需要注意，不能乱用滥用。 1、数组对象转换为集合对象     最暴力的方式是new一个集合对象，然后遍历数组，依次将数组中的元素放入到新的集合中，但是这样做显然过
  • nginx同一主机部署多个应用 geeksun nginx
    近日有一需求，需要在一台主机上用nginx部署2个php应用，分别是wordpress和wiki，探索了半天，终于部署好了，下面把过程记录下来。 1.   在nginx下创建vhosts目录，用以放置vhost文件。 mkdir vhosts   2.   修改nginx.conf的配置， 在http节点增加下面内容设置，用来包含vhosts里的配置文件 #
  • ubuntu添加admin权限的用户账号 hongtoushizi ubuntuuseradd
    ubuntu创建账号的方式通常用到两种：useradd 和adduser . 本人尝试了useradd方法，步骤如下： 1:useradd    使用useradd时，如果后面不加任何参数的话，如：sudo useradd sysadm 创建出来的用户将是默认的三无用户：无home directory ,无密码,无系统shell。 顾应该如下操作：  
  • 第五章 常用Lua开发库2-JSON库、编码转换、字符串处理 jinnianshilongnian nginxlua
      JSON库   在进行数据传输时JSON格式目前应用广泛，因此从Lua对象与JSON字符串之间相互转换是一个非常常见的功能；目前Lua也有几个JSON库，本人用过cjson、dkjson。其中cjson的语法严格（比如unicode \u0020\u7eaf），要求符合规范否则会解析失败（如\u002），而dkjson相对宽松，当然也可以通过修改cjson的源码来完成
  • Spring定时器配置的两种实现方式OpenSymphony Quartz和java Timer详解 yaerfeng1989 timerquartz定时器
    原创整理不易，转载请注明出处：Spring定时器配置的两种实现方式OpenSymphony Quartz和java Timer详解 代码下载地址：http://www.zuidaima.com/share/1772648445103104.htm 有两种流行Spring定时器配置：Java的Timer类和OpenSymphony的Quartz。 1.Java Timer定时 首先继承jav
  • Linux下df与du两个命令的差别？ pda158 linux
    　一、df显示文件系统的使用情况，与du比較，就是更全盘化。 　　最经常使用的就是 df -T，显示文件系统的使用情况并显示文件系统的类型。 　　举比例如以下： 　　[root@localhost ~]# df -T 　　Filesystem                   Type &n
  • [转]SQLite的工具类 ---- 通过反射把Cursor封装到VO对象 ctfzh VOandroidsqlite反射Cursor
    在写DAO层时，觉得从Cursor里一个一个的取出字段值再装到VO(值对象)里太麻烦了，就写了一个工具类，用到了反射，可以把查询记录的值装到对应的VO里，也可以生成该VO的List。   使用时需要注意： 考虑到Android的性能问题，VO没有使用Setter和Getter，而是直接用public的属性。 表中的字段名需要和VO的属性名一样，要是不一样就得在查询的SQL中
  • 该学习笔记用到的Employee表 vipbooks oraclesql工作
        这是我在学习Oracle是用到的Employee表，在该笔记中用到的就是这张表，大家可以用它来学习和练习。 drop table Employee; -- 员工信息表 create table Employee( -- 员工编号 EmpNo number(3) primary key, -- 姓
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