天黑黑黑
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凸优化——对偶问题

凸优化——对偶问题

  • 拉格朗日函数与对偶函数
  • 对偶函数性质
  • 对偶函数例子
  • 函数的共轭
  • 对偶问题
  • 强对偶、弱对偶
  • p*=d*的几种解释
    • 几何解释
    • 鞍点的解释
    • 多目标优化的解释
    • 经济学解释

拉格朗日函数与对偶函数

凸优化——对偶问题_第1张图片

inf是极小化的意思
lambda和v是拉格朗日乘子（lambda——和不等式相关的拉格朗日乘子，v——和不等式相关的拉格朗日乘子）

对偶函数性质

凸优化——对偶问题_第2张图片

g()<=L()<=p*

对偶函数例子

凸优化——对偶问题_第3张图片

得一个关于v的凹函数
凸优化——对偶问题_第4张图片
凸优化——对偶问题_第5张图片

函数的共轭

在这里插入图片描述

共轭函数一定是一个凸函数

凸优化——对偶问题_第6张图片
凸优化——对偶问题_第7张图片

将一个拉格朗日对偶函数的一部分用共轭函数来表示

对偶问题

根据对偶函数性质2（如上），可以通过求最优的对偶函数来逼近p*的下界
凸优化——对偶问题_第8张图片
凸优化——对偶问题_第9张图片

D是对偶问题，P是原问题
对偶问题就是最大化对偶函数，同时lambda大于等于0

强对偶、弱对偶

对偶问题一定是一个凸优化问题

强对偶、弱对偶、对偶间隙

凸优化——对偶问题_第10张图片

B（x,r）是以x为中心，r为半径的小球
aff D是D的仿射包
aff D可以理解为D所在的整个空间
Relint D其实就是把D的边界去掉形成的开集

凸优化——对偶问题_第11张图片
凸优化——对偶问题_第12张图片
凸优化——对偶问题_第13张图片
凸优化——对偶问题_第14张图片

p*=d*的几种解释

在这里插入图片描述

几何解释

在这里插入图片描述
凸优化——对偶问题_第15张图片

p是u<=0(St条件给定)下的f0(x)的最小值，即可行域下t的最小值
lambdau+t得g（lambda）=在t轴的截距
在给定lambda大于等于0时，lambdau+t=g()的函数是一条直线。在求对偶函数时为了让g()最小，该直线必过下部的切线；在求d时为了让g()最大可以改变斜率lambda

鞍点的解释

凸优化——对偶问题_第16张图片

多目标优化的解释

凸优化——对偶问题_第17张图片
凸优化——对偶问题_第18张图片

经济学解释

凸优化——对偶问题_第19张图片

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他