AtCoder Grand Contest 031 C - Differ by 1 Bit 构造 归纳法

Solution

下面基本都是题解的中文翻译。
为了方便，称一个数的奇偶性为二进制表示中$1$个数的奇偶性。
首先判掉无解，即$A$与$B$奇偶性相同，因为每次有一位不同，所以每次奇偶性会变。
下面用归纳法证明其他情况都是有解的。$n=1$时显然有解，假设$n=k$时有解，现在证明$n=k+1$时也有解。
$A$和$B$至少有一位不同，假设是第$x$位，两个数同时去掉第$x$位，得到$A^{\prime }、B^{\prime }$的奇偶性是相同的。然后弄一个$C$，使得其与$A^{\prime }、B^{\prime }$的奇偶性都不同，比如$C=A^{\prime }$异或$1$，此时若$A、B$有$n$位，那么$A^{\prime }、B^{\prime }、C$都只有$n-1$位，我们可以得到$A^{\prime }$到$C$的长为$2^{n-1}$的排列的答案， 以及$C$到$B^{\prime }$的长为$2^{n-1}$的排列的答案。那么接下来就好办了，前$2^{n-1}$个数就是$A^{\prime }$到$C$的答案，然后把$A$的第$x$位插进去，后$2^{n-1}$个数就是$C$到$B^{\prime }$的答案，同样把$B$的第$x$位插进去。
代码也十分好写。以后要注意归纳法在构造题中的应用。

Code

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
int o(int x)
{
	int re=0;
	while(x)re^=(x&1),x>>=1;
	return re;
}
int n,A,B,ans[18][1<<17];
void solve(int k,int A,int B,int *a,int l,int r)
{
	if(k==1){a[l]=A,a[r]=B;return;}
	int C=A^B,t=(C&-C),mid=l+r>>1;
	int tA=A%t+A/(t<<1)*t,tB=B%t+B/(t<<1)*t,tC=tA^1;
	solve(k-1,tA,tC,ans[k-1],l,mid),solve(k-1,tC,tB,ans[k-1],mid+1,r);
	for(int i=l;i<=mid;i++)
	a[i]=ans[k-1][i]%t+ans[k-1][i]/t*(t<<1)+((A&t)?t:0);
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)
	a[i]=ans[k-1][i]%t+ans[k-1][i]/t*(t<<1)+((B&t)?t:0);
}
int main()
{
	n=read(),A=read(),B=read();
	if(o(A)==o(B))return puts("NO"),0;
	solve(n,A,B,ans[n],0,(1<<n)-1);
	puts("YES");
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)printf("%d ",ans[n][i]);
}