参考
HMM:https://blog.csdn.net/sinat_25346307/article/details/79119366
Viterbi算法:https://blog.csdn.net/shenxiaoming77/article/details/79228378
该问题转化为数学语言即为:在已知x的条件下计算得y的最大概率,如公式(1)所示
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(1) |
由条件概率公式可得公式(2)
(2) |
由于x是已知的,所以公式(2)中的p(x)可以省去,故公式(2)可以用公式(3)
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在HMM中,我们实际使用公式(4)的形式来求解,公式(3)使用条件概率公式可得公式(4)
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(4) |
图2为一条训练数据,已知句子x的词性y,其中PN为名词,V为动词,D为冠词,N为名词。
可得P(y)公式(5)
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(5) |
则可得公式(6)
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(6) |
将其一般化,可将第一步的概率P(y)称为转移概率(transition probability),第二步的概率称为输出概率(emission probability)。其概率值都可以通过训练数据得到。
第1步P(y) 转移概率可表示为公式(7)
(7) |
第2步输出概率可表示为公式(8)
(8) |
将公式(7)(8)带入公式(4)即为HMM模型,如公式(9)所示。
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(9) |
假设已知:
第1天小明感觉正常。
第2天小明感觉有点冷。
第3天小明觉有点头晕。
小明的身体观察序列x为:正常、冷、头晕
小明身体的隐藏状态有2种分别为:健康、发烧
求已知x的情况下,推断出小明每一天的身体状态呢?
正常、冷、头晕分别用0、1、2表示;健康、发烧分别用A、B表示。
则小明的观察序列x为:0,1,2
小明身体的隐藏状态有2种分别为:A、B
已知概率:
1)初始概率
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2)转移概率
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3)输出概率
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求:推断出小明每一天的身体状态呢?
已知:观察序列x和HMM模型。HMM模型即为初始概率、转移概率、输出概率。
1)第1天 l=1, 取值为0,
的取值为A或B
由HMM模型公式(9)可得到公式(10)
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(10) |
注意:这里实际为
当时, 带入公式(10)可得到公式(11)
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(11) |
当时, 带入公式(10)可得到公式(12)
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(12) |
2)第2天 l=2,取值为1,
的取值为A或B
由HMM模型公式(9)可得到公式(13)
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(13) |
1、)当时,公式(13)可化为公式(14)
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(14) |
公式(14)中的可取A或B,此时由公式(9)可得公式(15)
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(15) |
由公式(15)可看出,当取A时,
概率最大,记录此条路径。
这里在解释一下:
当前观测值为1,假定当前隐含状态为健康A,求当前的联合概率分布 。首先从昨天的状态到当前的健康A状态有两种路径(昨天的状态还没确定,而只是先计算出每个状态的概率分布): 昨天健康A ----> 今天健康A, 昨天发烧 B-----> 今天健康A。 这两个路径分别的概率为 0.3 * 0.7 以及 0.04 * 0.4, 可以看到 当前如果为健康A时,昨天为健康A的概率更大,因此我们选定昨天健康 A----> 今天健康A 这条路径,即记录下当前为健康A时,昨天也为健康A状态, 然后求得当前的联合概率分布
= (0.3 * 0.7 ) * 0.4即如下:
= max{0.3*0.7, 0.04*0.4} * 0.4=0.3* 0.7 * 0.4=0.084
此时我们需要记录概率最大的路径的前一个状态,即0.084路径的前一个状态,我们在小本本上记下,第二天健康A时,第一天的状态也为健康A。
2、)当时,公式(13)可化为公式(16)
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(16) |
公式(16)中的可取A或B,此时由公式(9)可得公式(17)
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(17) |
由公式(17)可看出,当取A时,
概率最大,记录此条路径。
一样的道理,从昨天的状态到当前的发烧B状态也有两种路径: 昨天健康A ----> 今天发烧B, 昨天发烧B -----> 今天发烧B,这两个路径分别的概率为 0.3 * 0.3以及 0.04 * 0.6, 可以看到 当前如果为发烧B时,昨天为健康A的概率更大,因此我们选定昨天健康A ----> 今天发烧B 这条路径,即记录下当前为发烧B时,昨天也为健康B状态, 当前的联合概率分布= (0.3 * 0.3 ) * 0.3, 即如下:
= max{0.3*0.3, 0.04*0.6} * 0.3=0.027,
同样的在0.027这个路径上,第二天为发烧B时,第一天也是健康A的。
3) 第3天 l=3, 取值为2,
的取值为A或B
由HMM模型公式(9)可得到公式(18)
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(18) |
1、) 的取值为A,公式(18)可化为公式(19)
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(19) |
公式(19)中的可取A或B,此时由公式(9)可得公式(20)
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(20) |
由公式(20)可看出,当取A时,
取A时;
概率最大,记录此条路径。
2、) 的取值为B,公式(18)可化为公式(21)
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(21) |
公式(21)中的可取A或B,此时由公式(9)可得公式(22)
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(22) |
由公式(22)可看出,当取B时,
取A时;
概率最大,记录此条路径。
4)到第三天是最后一天, 此时看第三天为发烧B时状态概率最大,即为最优状态,即P(最优)=0.01512,这样我们可以得到最优路径的终点,是发烧B状态。
由最优状态开始回溯。根据前面所记录的, 在求得第三天发烧的时候,我们记录的第二天最大概率的状态为健康A,因此确定第二天为健康A状态,继续回溯,当第二天为健康A状态时,我们记录的第一天是健康A的。这样,我们的状态序列逆推出来了。即为:健康A,健康A,发烧B;这就是小明这3天的身体状态。
5)别人也给出了一个HMM概率图 可以参考下: