从四元数到旋转矩阵

旋转矩阵和四元数都是描述三维空间中位姿的方式，此文将讨论如何从四元数计算出旋转。

背景介绍

旋转矩阵和四元数之间的变换需要依据以下公式1
公式0： 绕任意轴n旋转θ的旋转矩阵（右手系中情况）

本文以下的推导和公式都是在左手坐标系下进行。此处公式0来源于知乎某文章，只是为了贴出来与公式1的对比。之后的计算都是基于公式1进行，也都是在左手坐标系下的公式和计算。（感谢评论中读者的指正，特此说明，以免对大家造成困扰）

公式1： 绕任意轴n旋转θ的旋转矩阵（左手系中情况）

(https://zhuanlan.zhihu.com/p/56587491)。
注意公式1中的基本条件：①旋转的正方向由左手法则判定 ②任意轴n处于左手坐标系中。

公式2： 绕任意轴n旋转θ的四元数（左手坐标系下）

要想从四元数求得旋转矩阵，即需要用矩阵中的元素m11、m12等等用四元数的四个值来表示。先把结果摆出来。

公式3： 四元数q(w,x,y,z)对应的旋转矩阵可以表示为如下形式（左手坐标系下）：

具体推导过程

具体的推导过程参考《3D数学基础：图形与游戏开发 清华大学出版社》。

首先考虑旋转矩阵对角线上的元素m_11、m_22、m_33的计算。
由公式1可知：

现在要消去cosθ，而是用四元数中的cosθ/2和cosθ/2来取而代之。这样的变换主要考虑反向利用二倍角公式，即：

带入通过一系列的化简即可求的m_11。非对角线上的元素也是同样的求解方法。具体的步骤可以查看我列的参考书。如果是直接使用从四元数到旋转矩阵的公式，则可以不用关注推导过程，直接使用公式3即可。

小结

四元数q(w,x,y,z)对应的旋转矩阵可以表示为如下形式：