积分与坐标变换(极坐标)

1. 极坐标(polar coordinates)

极坐标系考察的是半径与角度的关系。

1010dxdy=π401cosθ0ρdρdθ+π2π41sinθ0ρdρdθ

  • 对于 [0,π4]x=ρcosθ=1
  • 对于 [π4,π2]y=ρsinθ=1

ρ 进行积分,其物理含义上是放射状,向四周辐射的,从 0 开始,也即积的是一个“扇形”区域,从一个值积到另一个值,则是一个“环形”区域。

2. 双纽线与螺旋线

考虑双纽线,双纽线在几何上定义为一切这样的点 P 的轨迹,点 P 与直角坐标系分别为 x=a,y=0x=a,y=0 的两个固定点 F1F2 的距离 r1r2 之积为常值 a2

r21=(x+a)2+y2r22=(xa)2+y2

经过简单整理运算可得,如下形式的双纽线方程:
(x2+y2)22a2(x2y2)=0

经过极坐标变换 x=rcos,y=rsin,可化简为如下形式:

r2=2a2cos2θ

双纽线方程在极坐标系下会比在直角坐标系下简单得多,

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