树和二叉树的操作（课堂笔记）
一、树的定义和基本术语
1. 树是n（n>=0）个结点的有限集。
2. 在一棵非空树中，有且仅有唯一的根（root）结点，除根结点外其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集，它们本身 也是一棵树，称为树的子树（subtree）。
3. 基本术语
（1）结点的度（degree）：结点所拥有的子树的数目；
（2）叶子结点（leaf node）：度为0的结点；
（3）分支结点（branch node）：度不为0的结点；
（4）孩子（child）：结点的子树的根称为结点的孩子；
（5）双亲（parent）：结点是其孩子的双亲；
（6）祖先（forefather）：从树根到双亲的所有结点称为该结点的祖先；
（7）子孙（progeny）：以结点为根的子树的所有结点称为该结点的子孙；
（8）兄弟（sibling）：同一父母的所有孩子互称兄弟；
（9）层次（level）：树根为第一层，孩子为第二层，以此类推；
（10）堂兄弟（cousin）：双亲在同一层的结点互称堂兄弟；
（11）深度（depth）：树中结点的最大层次称为树的深度；
（12）有序树（ordered tree）：结点各子树从左至右是有秩序的树称为有序树；
（13）无序树（unordered tree）：结点各子树没有秩序的树称为无序树；
（14）森林（forest）：m (m≥0) 棵互不相交的树的集合。
二、二叉树
- 定义：二叉树（binary tree）是一棵度为二的树，其孩子有左右之分，也分别都是二叉树。
- 性质：（1） 在二叉树的第 i 层上最多有 2^(i -1) 个结点（i≥1）；
（2） 深度为 k 的二叉树最多有 (2^k)-1个结点（k≥1）;
(3) 对任一二叉树，叶子结点数为 n0，度为2的结点数为 n2，则 n0 = n2 +1。
（4）具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1向下取整；
（5）对一棵有 n 个结点的完全二叉树从上到下、从左到右进行连续编号，则对任一结点 i (1≤i≤n) 有：
① i=1的结点是树根，i>1 的结点的父母为 i / 2 向下取整；
② 若左右孩子存在，则分别为 2i 和 2i+1 结点。
3. 特殊二叉树:
(1）满二叉树（full binary tree）：一棵深度为 k 且有 (2^k)-1个结点的二叉树称为满二叉树;
（2）完全二叉树（complete binary tree）：一棵深度为 k 的满二叉树的第 k 层的右边几个结点不存在则为完全二叉树。
4. 二叉树的存储结构
（1）顺序存储结构：直接用数组从上到下、从左至右存；
（2）链式存储结构：结点域存数据、左孩子、右孩子；
三、遍历二叉树和线索二叉树
遍历二叉树（ traversing binary tree）：即按某种搜索顺序对二叉树中每个结点访问且仅访问一次。
void Preorder ( struct node*t )
{//前序遍历
if ( t )
{
visit ( t );
Preorder (t->lchild);
Preorder (t->rchild);
}
}
void Inorder ( struct node*t )
{//中序遍历
if ( t )
{
Inorder (t->lchild);
visit ( t );
Inorder (t->rchild);
}
}
void Postorder ( struct node*t )
{//后序遍历
if ( t )
{
Postorder (t->lchild);
Postorder (t->rchild);
visit ( t );
}
}
void InOrderTraverse(BiTree T)
{//中序遍历二叉树的非递归算法
InitStack(S);
p = T;
while(p||!StackEmpty(S))
{
if(p)
{
Push(S, p);
p = p->lchild;//根指针进栈，遍历左子树
}
else
{
Pop(S, p);
if(!Visit(p->data))
return error;
p = p->rchild;//根指针退栈，访问根结点，遍历右子树
}
}
}
void LevelOrder ( struct node * t )
{// 按层次遍历的算法
Iniqueue( q);
if ( t )
Enqueue( q, t );
while (! Empty( q))
{
t = Dequeue( q);
visit( t );
if ( t-> lchild)
Enqueue( q, t -> lchild );
if ( t-> rchild)
Enqueue( q, t -> rchild );
}
}
线索二叉树：一棵二叉链表表示的二叉树有 n+1 个空指针，可以利用这些空指针来存储结点的前驱和后继，这即是线索。为了区分到底是孩子指针还是线索，还需在每个结点内设置两个标志位 ltag 和 rtag，标志位为0，表示是孩子指针；标志位为 1，则表示是线索。其中 lchild 指向前驱，rchild 指向后继。
BiThrTree Pre;//刚刚访问过的结点
void InThreading(BiThrTree p)
{//中序遍历进行中序线索化
if(p)
{
InThreading(p->lchild);
//线索化操作开始
if(!p->lchild)
{
p->LTag = Thread;
p->lchild = pre;//左孩子指针指向前驱
}
if(!pre->rchild)
{
pre->RTag = Thread;
pre->rchild = p;//前驱右孩子指针指向后继
}
pre = p;//保持pre指向p的前驱
//线索化操作结束
InThreading(p->rchild);
}
}
void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T)
{//中序遍历二叉线索链表表示的二叉树T
BiThrTree p;
p = T->lchild;//p指向根节点
while(p!=T)//空树或遍历结束时，p==T
{
while(p->LTag==Link)//找到中序序列第一个结点
p = p->lchild;
while (p->RTag == Thread && p->rchild!=T)
{
p = p->rchild;
visit(p->data);
}
p = p->rchild;
}
}
四、数与森林
五、霍夫曼树及其应用
- 霍夫曼树（Huffman tree），也称最优树（optimal tree），是一种带权外路径长度（weighted path length）最短的树。
- 树的带权外路径长度是树中所有叶子结点的带权路径长度之和，即 叶子结点的数值 * 路径长度 的和。
- 霍夫曼树中除叶子结点外，所有分支结点的度均为 2，叶子结点（外部结点）可看成是由分支结点（内部结点）组成的树扩充出来的，因此，霍夫曼树是一棵扩充二叉树（extended binary tree）。
