矩阵论笔记（七）——矩阵的微分和积分

对矩阵求微分和积分，就是对其每个元素求微分和积分。

定义

• 导数：矩阵 A(t)=(aij(t))m×n 的每个元素可微，则称 A(t) 可微，其导数（微商）定义为 A′(t)=ddtA(x)=(ddtaij(t))m×n ；
• 积分：如果 A(t) 的每个元素都是 [t0,t1] 上的可积函数，则定义 A(t) 在 [t0,t1] 上的积分为 ∫t1t0A(t)dt=(∫t1t0aij(t)(d)t)m×n ；
• 连续性：
  
  • 当 aij(t) 在 [t0,t1] 上连续时，称 A(t) 在 [t0,t1] 上连续，且有 ddt∫taA(s)ds=A(t) ；
  • 当 a′ij(t) 都在 [t0,t1] 上连续时， ∫baA′(t)dt=A(b)−A(a) 。

定理

以下是矩阵微分和积分的运算规则，可自行证明：

定理一：

（1） ddt(A(t)+B(t))=ddtA(t)+ddtB(t) ；
（2） ddt(A(t)B(t))=B(t)⋅ddtA(t)+A(t)⋅ddtB(t) ；
（3） ddt(aA(t))=dadt⋅A(t)+addtA(t) 。

定理二：

（1） ddtetA=AetA=etAA ；
（2） ddtcos(tA)=−A(sin(tA))=−(sin(tA))A ；
（3） ddtsin(tA)=A(cos(tA))=(cos(tA))A 。

定理三：

（1） ∫t1t0(A(t)+B(t))dt=∫t1t0A(t)dt+∫t1t0B(t)dt ；
（2） ∫t1t0A(t)Bdt=(∫t1t0A(t)dt)B （ B 与 t 无关）；
（3） ∫t1t0A⋅B(t)dt=A(∫t1t0B(t)dt) （ A 与 t 无关）。