算法设计与分析笔记之(1):算法概述

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第一章  算法概述

第一节 用计算机求解问题与算法

1.计算机求解问题的步骤:

a)       问题分析

b)       数学模型建立

c)       算法设计与选择

d)       算法表示:图形、流程图、数学表达等

e)       算法分析:确定衡量算法的标准包括:精度、时间度和空间度

f)        程序调试

g)       结果整理和文档编制

2.算法定义:

在解决问题时,按照某种确定的步骤可以得到问题结果的处理过程。

3.算法的三要素:

a)       操作:加减乘除,与或非等运算

b)       控制结果:顺序结构、选择结构和循环结构

c)       数据结构:数据的存储方式和处理方式

4.算法的特征:

有穷性、确定性、可行性、有输入、有输出

5.算法设计必须严格考虑的质量指标

a)       正确性:对确定的输入有唯一的结果

b)       可读性:容易看懂

c)       健壮性:当有错误输入是能给出提示

d)      高效率与低存储量

6.算法设计的基本模型

结构化方法、面向兑现方法

7.算法实现的注意事项

a)       数据类型的选择

b)       计算过程的差异

c)       结果输出的格式

d)       算法实现后的测试和调试

第二节 算法描述

1.算法的描述方式:

a)       自然语言

b)       流程图

c)       盒图

d)       PAD图

e)       伪代码

f)        程序设计语言

2.常用算法分类

a)       压缩/解压算法

b)       加密/解密算法

c)       人工智能算法

d)       并行算法

e)       其他算法:数值算法、运筹学相关算法、统计学相关算法、网络搜索引擎算法

第三节 算法复杂性分析

1.算法分析的评价体系:

a)       算法实现的消耗时间T(N)

b)       算法实现占用的存储空间S(N)

c)       算法应易于理解和调试

2.算法时间效率的衡量方法

①事后分析法:实际测量算法的执行时间(不常用)

②事前分析估算法:主要通过算法复杂度来体现

3.时间复杂性

算法设计与分析笔记之(1):算法概述_第1张图片

其中DN是规模为N的合法输入的集合;I*DN中使T(N,I*)达到Tmax(N)的合法输入;是中使T(N, )达到Tmin(N)的合法输入;而P(I)是在算法的应用中出现输入I的概率。

4.时间复杂性的渐近

①渐近上界O的定义

如果存在正的常数C和自然数N0,使得当NN0时有f(N)=Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时上有界,且g(N)是它的一个上界,记为f(N)=O(g(N))。即f(N)的阶不高于g(N)的阶。

②渐近下界Ω的定义

如果存在正的常数C和自然数N0,使得当NN0时有f(N)Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时下有界,且g(N)是它的一个下界,记为f(N)=Ω(g(N))。即f(N)的阶不低于g(N)的阶。 

③同阶Q的定义

定义f(N)=Q(g(N))当且仅当f(N)=O(g(N))且f(N)= Ω(g(N)),即(g(n))={f(n)|存在正常数c1,c2和正整数n0使得对所有n≥n0有:c1g(n)≤f(n)≤c2g(n)},此时称f(N)与g(N)同阶

④低阶o的定义

对于任意给定的ε>0,都存在正整数N0,使得当N³N0时有f(N)/Cg(N)ε,则称函数f(N)当N充分大时的阶比g(N)低,记为f(N)=o(g(N))。

⑤非紧下界记号w

w(g(n))= { f(n) | 对于任何正常数c>0,存在正数和n0 >0使得对所有n³n0有:0 £ cg(n) < f(n) }。

5.算法分析中常见的复杂性函数

算法设计与分析笔记之(1):算法概述_第2张图片

常见的复杂性函数

 

算法设计与分析笔记之(1):算法概述_第3张图片

小规模数据

 


算法设计与分析笔记之(1):算法概述_第4张图片

中等规模数据

  

6.算法分析案例

例:顺序搜索算法

程序:

template

int seqSearch(Type *a, int n,Type k)

{

     for(int i=0;i

        if (a[i]==k) return i;

     return -1;

}

(1)Tmax(n) = max{ T(I)| size(I)=n }=O(n)

(2)Tmin(n) = min{ T(I)| size(I)=n }=O(1)

(3)在平均情况下,假设:

     算法设计与分析笔记之(1):算法概述_第5张图片

7.最优算法

问题的计算时间下界为W(f(n)),则计算时间复杂性为O(f(n))的算法是最优算法。



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