威尔逊定理

下面是一道很典型的涉及到数论的编程问题（原题链接：https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/external/43/4382.html）。

而要解这个问题，使用穷举或暴搜的方法显然不可取。若要优雅而巧妙地解决这个问题，就需要用到一个关于素数的著名结论——威尔逊定理（Wilson's theorem）。

十八世纪中叶，一位英国法官约翰·威尔逊爵士，发现了数论中一种极为罕见的关系：取从1到某个质数所有连续正整数的乘积，例如从1乘到11，即11的阶乘11！，显然，11！能被从1到11的所有整数整除。略去11，得10！。无疑10！不能被11整除。然而，如果给10！加上1的话，1×2×3×4×5×6×7×8×9×10＋1＝3628801，怎么也不会想到，3628801却能被11整除（3628801÷11＝329891）。类似地，从1到质数7的阶乘7！中略去7，再加上1，得1×2×3×4×5×6＋1 = 721，721也能被7整除（721÷7＝103）。11和7都是质数，研究发现，此种整除性对一切质数都成立，但对合数却不成立。

把上面所说的加以推广，就得到威尔逊定理：当且仅当 n 为质数时，(n－1)!＋1能被 n 整除。（逆定理也成立）

或者用公式表示为

威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。威尔逊定理的第一个证明是由拉格朗日给出的。

下面仅讨论充分性的证明。即证明当 n 满足上式时，n只能为素数。
首先，假设 n 不是素数，那么令 n=a×b ，其中1 < a < n-1，1 < n < p-1。

1. 若a≠b, 因为 (n-1)!=1×2×...×a×...×b×...×n-1,
   所以 (n-1)!≡ 0 (mod a)；(n-1)!≡ 0 (mod b)，以及 (p-1)!≡ 0 (mod a×b) ，
   即 (n-1)!≡ 0 (mod n)。这与( n -1 )! ≡ -1 ( mod n )  矛盾。
2. 若a=b, 因为(n-1)!=1×2×...×a×......×n-1，       
   

        所以(n-1)!≡ 0 (mod a) 以及 (n-1)!≡ 0 (mod 2a)。

        注意，2×a < a×a=n，所以(n-1)!=1×2×...×a×...×2a×......×n-1，

        可得(n-1)!≡ 0 (mod a×2a) => (n-1)!≡ 0 (mod a×a) ，即 (n-1)!≡ 0 (mod n)
        这与( n -1 )! ≡ -1 ( mod n )  矛盾。

        所以 n 只能是素数，即充分性得证。

现在回过头来看本文最初给出的问题。分两种情况讨论。

(1)3k+7为素数时，那么由威尔逊定理可知

此时有（注意这里中括号的意思已由题目中红色方框标注的地方加以说明）

所以

(2)3k+7为合数时，那么3k+7可以写成3k+7=ab，那么很明显a和b在(3k+6)!中都会出现，所以

此时有

所以解法就是筛出素数表，然后从0到10^6，判断素数，是素数就等于前一项的值+1，不是素数就直接等于前一项的值，答案保存到一个数组中即可。