概率论与数理统计(二)

本文主要讲一下如何对随机事件求概率这个问题，这个问题听起来是很简单的，但实际上这里面还是有一点点东西的。

三大结构

当我们讨论某一随机事件的概率时，我们一般是在一个框架下讨论的，这个框架包含三个结构：样本空间(sample space)，事件(event)和几率测度(probability measure)。

• sample space：记作$\Omega$，样本空间，即某一随机现象发生的所有可能取值集合。
• event：sample space的任一子集叫做event，即事件。
• probability measure：给定一个event，probability measure就是测量该event发生的概率。

接下来用一个映射来表达这三者的关系。
$$P：2^{\Omega }\to [0,1](1)$$

离散的样本空间

根据$\Omega$这一集合所含元素为countable 和 uncountable这两种情况，我们又可以将样本空间分为离散的样本空间和连续的样本空间。
什么是countable呢？ 就是集合内的元素是finite，如{1,2,3,4,5,6}，或者集合内的元素是infinite，但是countable，比如自然数集合$\mathcal{N}$。
根据公式(1)，我们只需要定义P这个映射就好了，可是如果$\Omega$的元素很多的话，我们是定义P是非常麻烦的(我们需要为$2^{\Omega }$个事件定义其概率)。我们前面"概率论与数理统计(一)"讲到了概率的三大公理，根据第三个加法公理，我们只需要定义这样的映射p就好了(即只为每个基本事件定义概率，然后根据加法公理去计算若干个事件合在一起的新事件的概率)：
$$p：\Omega \to [0,1](2)$$

我们可以回想一下古典概率，其局限在于：(1) 不能处理infinite的情况。(2)若每个基本事件的概率不同，古典概率也无法使用。而使用我们现在采用的框架就能解决上述的两个问题。

连续的样本空间

可以明显看出来离散情况下的做法并不适用与连续情况。
连续的情况讲起来有点麻烦，暂时先不讲了。

总结

通过本文，我们学习了概率论的基本框架，该框架包含三个主要的结构：样本空间，事件，几率测度。针对样本空间离散和连续的情况，本文做了不同的讲解。