勿幻想
勿幻想

线性代数笔记——行列式定义和性质

一、二阶行列式

1、定义：由2阶矩阵A =\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} 决定的表达式a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} 称为A的行列式(determinant)，记作

     detA=|A|=|\begin{matrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{matrix}|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}，2阶矩阵的行列式称为2阶行列式.

2、2阶行列式的性质：设|A|是2阶矩阵 A=(a_{ij}) 的行列式.

（1）性质1  如果互换A的两列得B，则|B|=-|A|.

         推论  如果A的两列相等，则|A|=0.

（2）性质2  如果A的某列乘以常数k得B，则|B|=k|A|

         推论1  如果A含有0列，则|A|=0.

         推论2  如果k是常数，则det(kA)=k^{2}detA

         推论3  如果A的两列对应元素成比例，则|A|=0.

（3）性质3  \begin{vmatrix} a_{11} +b_{11}&a_{12} \\ a_{21}+b_{21}&a_{22} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} b_{11}&a_{12} \\ b_{21}&a_{22} \end{vmatrix}

（4）性质4  如果A的某列的k倍加到另一列得矩阵B，那么|B|=|A|.

（5）性质5  |A^{T}|=|A| 2阶行列式关于列成立的性质与推论关于行也成立.

二、n阶行列式的定义

1、设正整数n\geq 3,并且已经定义了阶数为2,3,\cdots,n-1的行列式.下面定义n阶行列式,对于n阶矩阵

                    A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}

      划去1A的(i,j)-元 a_{ij} 所在第i行和第j列，剩下的元素按原来的位置排成的n-1阶矩阵

                   M_{ij}=\begin{pmatrix} a_{11} &\cdots &a_{1,j-1} &a_{1,j+1} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots& & \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{i-1,1} &\cdots &a_{i-1,j-1} &a_{i-1,j+1} &\cdots &a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} &\cdots &a_{i+1,j-1} &a_{i+1,j+1} &\cdots &a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &\cdots &a_{n,j-1} &a_{n,j+1} &\cdots &a_{nn} \end{pmatrix}

         M_{ij} 称为 a_{ij} 在A中的余子阵；|M_{ij}| 称为 a_{ij} 在A中的余子式；A_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}| 称为 a_{ij} 在A中的代数余子式.

2、定义：设正整数n\geq 3，A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn}\end{pmatrix} 是n阶矩阵，对所有的 j \in (1,2,\cdots,n) ,A_{1j} 是 a_{1j} 在A中的代数

      余子式，A的行列式定义为a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}=\sum _{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j}，n阶矩阵A的行列式称为n阶行列式，记作detA

      或|A|.1阶矩阵A=(a)的行列式规定|A|=a.

三、行列式的性质

1、性质6  设n\geq 2 是正整数，如果互换n阶矩阵A的第s,t 两列得到的矩阵为B，那么detB=-det A

     证明：设 A=(a_{ij}) 是n阶矩阵，B=(b_{ij}) 是互换A的第 s,t 两列得到的矩阵.

                A的(i,j)-元 a_{ij}的余子阵记作M_{ij} ;

                B的(i,j)-元 b_{ij}的余子阵记作N_{ij}.

                不妨设s

      ①情况1  p=1. 

       对A的阶数n用数学归纳法.当n=2时，由性质1知结论成立.

       设n\geq 3，并且结论对n-1阶矩阵成立.下面证明结论对n阶矩阵也成立.

       显然 N_{1s}=m_{1(s+1)},N_{1(s+1)}=M_{1s} ，如果 k\in \begin{Bmatrix} 1,\cdots,s-1 \end{Bmatrix}\cup \begin{Bmatrix} s+1,\cdots,n \end{Bmatrix} ，则N_{1k}由M_{1k}互换相邻两列得到，

       由归纳假设得detN_{1k}=-detM_{1k}.因此，

       detB=\sum _{k=1}^{n}b_{1k}*(-1)^{1+k}|N_{1k}|=\sum _{k=1}^{s-1}b_{1k}*(-1)^{1+k}|N_{1k}|+b_{1s}*(-1)^{1+s}|N_{1s}|

                     +b_{1(s+1)}*(-1)^{1+(s+1)}|N_{1(s+1)}|+\sum _{k=s+2}^{n}b_{1k}*(-1)^{1+k}|N_{1k}|

                 =-\sum _{k=1}^{s-1}a_{1k}*(-1)^{1+k}|M_{1k}|+a_{1(s+1)}*(-1)^{1+s}|M_{1(s+1)}|

                      +a_{1s}*(-1)^{s}|M_{1s}|-\sum _{k=s+2}^{n}a_{1k}*(-1)^{1+k}|M_{1k}|

                 =-\sum _{k=1}^{n}a_{1k}*(-1)^{1+k}|M_{1k}|=-detA

      ②情况2  p>1

      将A按列记作 A=(\cdots,C_{s},C_{s+1},\cdots,C_{s+p-1},C_{t},\cdots).在A中，依次将 C_{s} 与C_{s+1},\cdots,C_{s+p-1},C_{t} 互换，然后依次将

      C_{t}与C_{s+p-1},C_{s+p-2},\cdots,C_{s+1} 互换，最后得到的矩阵为B，在此过程中，一共做了p+(p-1)=2*p-1 次相邻列的

      互换。根据情况1的证明知 detB=(-1)^{2*p-1}detA=-detA. 证毕

      推论  如果n阶矩阵A有两列相等，则detA=0.

2、性质7  如果n阶矩阵A的第t列乘以常数c得矩阵B，则detB=c*detA.

     推论1  如果n阶矩阵A含有0列，则detA=0

     推论2  如果n阶矩阵A中有两列对应元素成比例，则detA=0.

     推论3  如果A是n阶矩阵，c是常数，则 det(cA)=c^{n}detA

3、性质8  设n阶矩阵A的第t列的元素都是两数之和，|A|=|B|+|C|.

           A=\begin{pmatrix} a_{11} &\cdots &a_{1(t-1)} &(b_{1t}+c_{1t}) &a_{1(t+1)} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} &\cdots &a_{2(t-1)} &(b_{2t}+c_{2t}) &a_{2(t+1)} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots& & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} &\cdots &a_{n(t-1)} &(b_{nt}+c_{nt}) &a_{n(t+1)} & \cdots &a_{nn} \end{pmatrix}

           B=\begin{pmatrix} a_{11} &\cdots &a_{1(t-1)} &b_{1t} &a_{1(t+1)} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} &\cdots &a_{2(t-1)} &b_{2t} &a_{2(t+1)} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots& & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} &\cdots &a_{n(t-1)} &b_{nt} &a_{n(t+1)} & \cdots &a_{nn} \end{pmatrix}

           C=\begin{pmatrix} a_{11} &\cdots &a_{1(t-1)} &c_{1t} &a_{1(t+1)} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} &\cdots &a_{2(t-1)} &c_{2t} &a_{2(t+1)} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots& & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} &\cdots &a_{n(t-1)} &c_{nt} &a_{n(t+1)} & \cdots &a_{nn} \end{pmatrix}

4、性质9  如果n阶矩阵A的第t列的k倍加到第s列得到的矩阵为B，那么detB=detA.

      性质6,7,9的本质是方阵的初等列变换对方阵的行列式的影响.

 

你可能感兴趣的:(线性代数)

  • 【树一线性代数】005入门 Owlet_woodBird 算法
    Index本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376分析实现总结本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376已知非空二叉树T的结点值均为正整数，采用顺序存储方式保存，数据结构定义如下:t
  • 如何有效的学习AI大模型？ Python程序员罗宾 学习人工智能语言模型自然语言处理架构
    学习AI大模型是一个系统性的过程，涉及到多个学科的知识。以下是一些建议，帮助你更有效地学习AI大模型：基础知识储备：数学基础：学习线性代数、概率论、统计学和微积分等，这些是理解机器学习算法的数学基础。编程技能：掌握至少一种编程语言，如Python，因为大多数AI模型都是用Python实现的。理论学习：机器学习基础：了解监督学习、非监督学习、强化学习等基本概念。深度学习：学习神经网络的基本结构，如卷
  • 每日小计划 小糊涂神
    活到老学到老到，学习永无止境，我坚持每天学习，我的学习计划如下：1.每天学习五个英语单词，和正在学习英语的儿子共同进步，方便辅导他。2.学习一节统计学或者一节线性代数课程，在此基础上进一步学习数据的处理软件。3.每天微信步数达到1万步，每天饭后过一下二人世界，不到沟通感情，而且还能强身健体！4.学习两节税务师课件，中级会计师已经通过，距离考高级还有几年，空档期考取税务师，充实自己的专业知识。5.坚
  • 深度学习算法，该如何深入，举例说明 liyy614 深度学习
    深度学习算法的深入学习可以从理论和实践两个方面进行。理论上，深入理解深度学习需要掌握数学基础（如线性代数、概率论、微积分）、机器学习基础和深度学习框架原理。实践上，可以通过实现和优化深度学习模型来提升技能。理论深入数学基础线性代数：理解向量、矩阵、特征值和特征向量等，对于理解神经网络的权重和偏置矩阵至关重要。概率论：用于理解模型的不确定性，如Dropout等正则化技术。微积分：理解梯度下降等优化算
  • 非理工科院校怎么打好数学建模比赛 | 南川笔记 南川笔记
    Proposition1非理工科院校最好不要打数学建模比赛。虽说“一次建模，终身受益”，但毕竟数学建模既要数学理论的支撑（不仅仅是大学里的微积分、线性代数和概率论与统计，更多的是基于微积分的常偏微分方程、基于线性代数的运筹学和基于概率论与统计的统计分析内容），还要编程的支撑（不是常规的C语言或者Java程序，也不是这几年很火的Python编程，而是基于数值运算的Matlab和基于统计的R），这在一
  • 【鼠鼠学AI代码合集#5】线性代数 鼠鼠龙年发大财 鼠鼠学AI系列代码合集人工智能线性代数机器学习
    在前面的例子中，我们已经讨论了标量的概念，并展示了如何使用代码对标量进行基本的算术运算。接下来，我将进一步说明该过程，并解释每一步的实现。标量（Scalar）的基本操作标量是只有一个元素的数值。它可以是整数、浮点数等。通过下面的Python代码，我们可以很容易地进行标量的加法、乘法、除法和指数运算。代码实现：importtorch#定义两个标量x=torch.tensor(3.0)#标量x，值为3
  • 数学基础 -- 线性代数正交多项式之勒让德多项式展开推导 sz66cm 线性代数决策树算法
    勒让德多项式展开的详细过程勒让德多项式是一类在区间[−1,1][-1,1][−1,1]上正交的多项式，可以用来逼近函数。我们可以将一个函数表示为勒让德多项式的线性组合。以下是如何推导勒让德多项式展开系数ana_nan的详细过程。1.勒让德展开的基本假设给定一个函数f(x)f(x)f(x)，我们希望将它表示为勒让德多项式的线性组合：f(x)=∑n=0∞anPn(x),f(x)=\sum_{n=0}^
  • 线性代数基础 wq_151 mathematic线性代数
    Base对于矩阵A，对齐做SVD分解，即UΣV=svd(A)U\SigmaV=svd(A)UΣV=svd(A).其中U为AATAA^TAAT的特征向量，V为ATAA^TAATA的特征向量。Σ\SigmaΣ的对角元素为降序排序的特征值。显然，U、V矩阵中的列向量相互正交，所以也可以视V为svd分解给出了A的列向量空间的正交基，其中最大奇异值（或特征值）对应的特征向量捕捉了数据变化的最大方向。求满足A
  • 2022考研数学李永乐复习全书pdf版-基础篇(数一二三通用) 面包资料屋 考研数学
    2022考研数学李永乐复习全书pdf版-基础篇(数一二三通用)：https://pan.baidu.com/s/1tK9cPPG5Q-xhasqb051ymQ提取码：1111本书是专门为准备参加硕士研究生入学考试提前复习的大二大三学生、在职考研人士及基础薄弱的考生编写。本书以初等数学水平为起点，阐述了考研数学要求的基本知识构架。希望本书能够帮助考生在短时间内厘清考研数学（包括高等数学、线性代数、概
  • 线性代数|机器学习-P33卷积神经网络ImageNet和卷积规则 取个名字真难呐 算法机器学习矩阵人工智能线性代数
    文章目录1.ImageNet2.卷积计算2.1两个多项式卷积2.2函数卷积2.3循环卷积3.周期循环矩阵和非周期循环矩阵4.循环卷积特征值4.1卷积计算的分解4.2运算量4.3二维卷积公式5.KroneckerProduct1.ImageNetImageNet的论文paper链接如下：详细请直接阅读相关论文即可通过网盘分享的文件：imagenet_cvpr09.pdf链接:https://pan.
  • Python的图形化界面编程 iteye_20668 Pythonpython
    2017.2.14好久没有写代码了，感觉过一个年弄的什么也没有干成，好像看了下c++,突然发现现在来看C++,要简单了好多，并且指针也没有那么难了，然后就是看了下机器学习，感觉有点小难，现在发现好多都涉及到高数，概率论和线性代数的知识，想想当初把这些学的是一塌糊涂。然后上次和胡杨大大聊天的时候，他说好多东西都是在实践中去学习的。好了，继续我的Python吧，Python的图形化界面编程。impor
  • matlab初等变换函数,线性代数实践及 MATLAB 入门(2005年10月) weixin_39861905 matlab初等变换函数
    出版时间：2005-10-1作者：陈怀琛，龚杰民编著出版社：电子工业出版社程序集名为dsk05，课件名bk05课件内容简介本书是根据“用软件工具提高线性代数教学”的指导思想，参照美国1992—1997国家科学基金项目ATLAST的思路，编写成的线性代数补充教材，其目的是补充我国现有教材的的缺陷。它分为两篇，第一篇介绍线性代数所用的软件工具MATLAB语言，它可以作为教材，也可以作为手册使用；第二篇
  • matlab线性代数电子书,实用大众线性代数 MATLAB版_13652907.pdf 三金乐了 matlab线性代数电子书
    【作者】陈怀琛著【形态项】156【出版项】西安：西安电子科技大学出版社,2014.08【ISBN号】978-7-5606-3462-3【中图法分类号】O151.2【原书定价】20.00【主题词】线性代数-计算机辅助设计-MATLAB软件【参考文献格式】陈怀琛著.实用大众线性代数MATLAB版.西安：西安电子科技大学出版社,2014.08.内容提要:传统的线性代数源于数学家，教理论不教应用。工科需要
  • 数学基础 -- 线性代数之格拉姆-施密特正交化 sz66cm 线性代数机器学习人工智能
    格拉姆-施密特正交化格拉姆-施密特正交化（Gram-SchmidtOrthogonalization）是一种将一组线性无关的向量转换为一组两两正交向量的算法。通过该过程，我们能够从原始向量组中构造正交基，并且可以选择归一化使得向量组成为标准正交基。算法步骤假设我们有一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}\{v_1,v_2,\dots,v_n\}{v1,v2,…,vn}，其目标是将这些向量正交化
  • Matlab初等数学与线性代数 崔渭阳 matlabmatlab线性代数数据结构
    初等数学算术运算基本算术加法+添加数字，追加字符串sum数组元素总和cumsum累积和movsum移动总和A=1:5;B=cumsum(A)B=1×51361015减法-减法diff差分和近似导数乘法.*乘法*矩阵乘法prod数组元素的乘积cumprod累积乘积pagemtimes按页矩阵乘法（自R2020b起）tensorprodTensorproductsbetweentwotensors（自
  • 数学基础 -- 线性代数之矩阵的迹 sz66cm 线性代数机器学习决策树
    矩阵的迹什么是矩阵的迹？矩阵的迹（TraceofaMatrix）是线性代数中的一个基本概念，定义为一个方阵主对角线上元素的总和。矩阵的迹在许多数学和物理应用中都起着重要作用，例如在矩阵分析、量子力学、统计学和系统理论中。矩阵迹的定义对于一个n×nn\timesnn×n的方阵AAA：A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)A=\begin{pmatrix}a_{1
  • 线性代数 第五讲:线性方程组_齐次线性方程组_非齐次线性方程组_公共解同解方程组_详解 小徐要考研 线性代数线性代数线性方程组机器学习
    线性方程组文章目录线性方程组1.齐次线性方程组的求解1.1核心要义1.2基础解系与线性无关的解向量的个数1.3计算使用举例2.非齐次线性方程的求解2.1非齐次线性方程解的判定2.2非齐次线性方程解的结构2.3计算使用举例3.公共解与同解3.1两个方程组的公共解3.2同解方程组4.方程组的应用5.重难点题型总结5.1抽象齐次线性方程组的求解5.1含有系数的非齐次线性方程组的求解及有条件求全部解问题5
  • Day04-线性代数-特征值和特征向量(DataWhale) liying_tt 数学基础线性代数
    七、特征值和特征向量AAA是n阶方阵，数λ\lambdaλ，若存在非零列向量α⃗\vec{\alpha}α，使得Aα⃗=λα⃗A\vec{\alpha}=\lambda\vec{\alpha}Aα=λα，则λ\lambdaλ是特征值，α⃗\vec{\alpha}α是对应于λ\lambdaλ的特征向量λ\lambdaλ可以为0α⃗\vec{\alpha}α不能为0⃗\vec{0}0，且为列向量Aα⃗
  • 人工智能中的线性代数与矩阵论学习秘诀之著名教材 audyxiao001 人工智能怎么学人工智能线性代数矩阵学习方法
    线性代数是大学数学中非常核心的基础课程，教材繁多，国内外有许多经典的教材。国内比较有名且使用较为广泛的线性代数中文教材见书籍8。书籍8线性代数中文教材推荐:(a)简明线性代数(丘维声);(b)线性代数(居于马);(c)线性代数(李尚志);(d)线性代数(李炯生等);(e)线性代数五讲(龚昇);(f)线性代数的几何意义(任广千等)北京大学的丘维声教授编写的《简明线性代数》[17]是北京市高等教育精品
  • 数学基础 -- 线性代数之矩阵正定性 sz66cm 线性代数矩阵
    线性代数中的正定性正定性在线性代数中主要用于描述矩阵的特性，尤其是在二次型与优化问题中有重要应用。正定矩阵的定义对于一个n×nn\timesnn×n的对称矩阵AAA，其正定性可以通过以下条件来判断：正定矩阵：如果对于任意非零向量x∈Rnx\in\mathbb{R}^nx∈Rn，二次型xTAxx^TAxxTAx都是正的，即：xTAx>0∀x∈Rn,x≠0x^TAx>0\quad\forallx\in
  • 线性代数笔记【二次型】 内 鬼 微电子专业笔记线性代数矩阵
    二次型n元二次型：关于n个变量x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn的二次齐次函数KaTeXparseerror:Nosuchenvironment:align*atposition8:\begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲f(x_1,x_2,\cdo…系数全为实数的二次型叫做实二次型，除此之外还有复二次型和复二次型矩阵，但在这里不讨论标准二次型：只含
  • MIT线性代数 模拟IC和AI的Learner 线性代数线性代数机器学习算法
    P5置换矩阵置换矩阵是行重新排列的单位矩阵。置换矩阵用P表示，性质：n阶置换矩阵共有n!个P6零空间某个矩阵的零空间中的向量经过该矩阵的变换后都落在0向量，
  • MIT线性代数 模拟IC和AI的Learner 线性代数
    本文链接的原创作者为浊酒南街https://blog.csdn.net/weixin_43597208第1讲MIT_线性代数笔记：第01讲行图像和列图像-CSDN博客第2讲MIT_线性代数笔记：第02讲矩阵消元_矩阵firstpivot-CSDN博客第3讲MIT_线性代数笔记：第03讲矩阵的乘法和逆矩阵_矩阵行乘列和列乘行-CSDN博客第4讲MIT_线性代数笔记：第04讲矩阵的LU分解-CSDN博
  • 从零开始学数据分析之——《线性代数》第六章 二次型 doubleyue1314 线性代数数据分析数据挖掘算法
    6.1二次型与对称矩阵6.1.1二次型及其矩阵定义：n个变量的二次齐次函数称为的一个n元二次型，简称为二次型二次型转换为矩阵表达式：1）平方项的系数直接作为主对角元素2）交叉项的系数除以2放两个对称的相应位置上二次型的矩阵一定是对称的二次型的标准形对应的矩阵是一个对角形矩阵，其秩为主对角线上非零元的个数矩阵表达式写为二次型：1）主对角线元素直接作为平方项的系数2）取主线右上角元素乘以2作为交叉项系
  • 线性代数学习笔记8-4：正定矩阵、二次型的几何意义、配方法与消元法的联系、最小二乘法与半正定矩阵A^T A Insomnia_X 线性代数学习笔记线性代数矩阵学习
    正定矩阵Positivedefinitematrice之前说过，正定矩阵是一类特殊的对称矩阵：正定矩阵满足对称矩阵的特性（特征值为实数并且拥有一套正交特征向量、正/负主元的数目等于正/负特征值的数目）另外，正定矩阵还具有更好的性质（所有特征值都为正实数、所有主元都为正实数、左上角的所有任意k阶（10(x≠0)\mathbf{x}^{T}\boldsymbol{A}\mathbf{x}>0\quad
  • LU分解算法（串行、并行） 清榎 高性能计算并行程序高性能计算数值分析
    一、串行LU分解算法（详细见MIT线性代数）1.LU分解矩阵分解LU分解分解形式L（下三角矩阵）、U（上三角矩阵）目的提高计算效率前提（1）矩阵A为方阵；（2）矩阵可逆（满秩矩阵）；（3）消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换LU分解其实就是将线性方程组：Ax=bAx=bAx=b分解为：LUx=bLUx=bLUx=b这样一来就会有：{Ly=bUx=y\begin{cas
  • 线性代数 --- LU分解（Gauss消元法的矩阵表示） 松下J27 LinearAlgebra线性代数矩阵LU分解高斯消元矩阵运行gaussianLU
    Gauss消元法等价于把系数矩阵A分解成两个三角矩阵L和U的乘法首先，LU分解实际上就是用矩阵的形式来记录的高斯消元的过程。其中，对矩阵A进行高斯消元后的结果为矩阵U，是LU分解后的两个三角矩阵中其中之一。U是一个上三角矩阵，U就是上三角矩阵uppertriangle的首字母的大写。高斯消元的每一步都能用基本消元矩阵E来表示。而所有的E都可以收录在一个矩阵当中，我这里叫他Z矩阵。Z矩阵就是集所有基
  • Python NumPy 库详解 寒秋丶 Pythonpythonnumpy开发语言测试开发数据分析数据挖掘软件测试
    大家好，在当今数据驱动的世界中，处理大规模数据、进行复杂数值计算是科学研究、工程设计以及数据分析的关键任务之一。在Python生态系统中，NumPy（NumericalPython）库是一款备受推崇的工具，它为我们提供了高效的数组操作、数学函数以及线性代数运算等功能，成为了科学计算和数据处理的利器。一、介绍NumPyNumPy（NumericalPython）是Python中一个开源的数值计算库，
  • 【机器人工具箱Robotics Toolbox开发笔记（一）】Matlab机器人工具箱简介 DRobot 机器人工具箱RoboticsToolbox开发笔记机器人笔记matlab
    MATLAB是一款被广泛应用于科学计算和工程领域的专业软件。它的全称为MatrixLaboratory（矩阵实验室），因为其最基本的数据类型就是矢量与矩阵，所以在处理数学和科学问题时非常方便，可用于线性代数计算、图形和动态仿真的高级技术计算语言和交互式环境以及解决机器人学的相关问题。MATLAB的RoboticsToolbox（简称RTB）是一款在MATLAB环境下进行机器人建模、仿真和控制的工具
  • 线性代数——特征值与特征向量的性质 lwh 98+106 线性代数算法机器学习
    （1）设A为方阵，则A与ATA^{T}AT有相同的特征值。此处用到了两个关键性质，一：单位阵的转置为其本身,二：转置并不改变行列式的值。（2）：设n阶方阵A=（aija_{ij}aij）的n个特征值为λ1\lambda_{1}λ1,λ2\lambda_{2}λ2,…λn\lambda_{n}λn,则λ1+λ2+λ3+...λn=a11+a22+a33+...+ann\lambda_{1}+\lam
  • LeetCode[位运算] - #137 Single Number II Cwind javaAlgorithmLeetCode题解位运算
    原题链接：#137 Single Number II  要求： 给定一个整型数组，其中除了一个元素之外，每个元素都出现三次。找出这个元素 注意：算法的时间复杂度应为O(n)，最好不使用额外的内存空间   难度：中等   分析： 与#136类似，都是考察位运算。不过出现两次的可以使用异或运算的特性 n XOR n = 0, n XOR 0 = n，即某一
  • 《JavaScript语言精粹》笔记 aijuans JavaScript
    0、JavaScript的简单数据类型包括数字、字符创、布尔值（true/false）、null和undefined值，其它值都是对象。 1、JavaScript只有一个数字类型，它在内部被表示为64位的浮点数。没有分离出整数，所以1和1.0的值相同。 2、NaN是一个数值，表示一个不能产生正常结果的运算结果。NaN不等于任何值，包括它本身。可以用函数isNaN(number)检测NaN,但是
  • 你应该更新的Java知识之常用程序库 Kai_Ge java
    在很多人眼中，Java 已经是一门垂垂老矣的语言，但并不妨碍 Java 世界依然在前进。如果你曾离开 Java，云游于其它世界，或是每日只在遗留代码中挣扎，或许是时候抬起头，看看老 Java 中的新东西。 Guava Guava[gwɑ:və]，一句话，只要你做Java项目，就应该用Guava（Github）。 guava 是 Google 出品的一套 Java 核心库，在我看来，它甚至应该
  • HttpClient 120153216 httpclient
    /** * 可以传对象的请求转发，对象已流形式放入HTTP中 */ public static Object doPost(Map<String,Object> parmMap,String url) { Object object = null; HttpClient hc = new HttpClient(); String fullURL
  • Django model字段类型清单 2002wmj django
    Django 通过 models 实现数据库的创建、修改、删除等操作，本文为模型中一般常用的类型的清单，便于查询和使用： AutoField：一个自动递增的整型字段，添加记录时它会自动增长。你通常不需要直接使用这个字段；如果你不指定主键的话，系统会自动添加一个主键字段到你的model。(参阅自动主键字段) BooleanField：布尔字段,管理工具里会自动将其描述为checkbox。 Cha
  • 在SQLSERVER中查找消耗CPU最多的SQL 357029540 SQL Server
    返回消耗CPU数目最多的10条语句 SELECT TOP 10    total_worker_time/execution_count AS avg_cpu_cost, plan_handle,    execution_count,    (SELECT SUBSTRING(text, statement_start_of
  • Myeclipse项目无法部署，Undefined exploded archive location 7454103 eclipseMyEclipse
    做个备忘！ 错误信息为：       Undefined exploded archive location 原因：           在工程转移过程中，导致工程的配置文件出错； 解决方法：    
  • GMT时间格式转换 adminjun GMT时间转换
    普通的时间转换问题我这里就不再罗嗦了，我想大家应该都会那种低级的转换问题吧，现在我向大家总结一下如何转换GMT时间格式，这种格式的转换方法网上还不是很多，所以有必要总结一下，也算给有需要的朋友一个小小的帮助啦。 1、可以使用 SimpleDateFormat SimpleDateFormat    EEE-三位星期 d-天 MMM-月 yyyy-四位年
  • Oracle数据库新装连接串问题 aijuans oracle数据库
    割接新装了数据库，客户端登陆无问题，apache/cgi-bin程序有问题，sqlnet.log日志如下： Fatal NI connect error 12170.   VERSION INFORMATION:         TNS for Linux: Version 10.2.0.4.0 - Product
  • 回顾java数组复制 ayaoxinchao java数组
    在写这篇文章之前，也看了一些别人写的，基本上都是大同小异。文章是对java数组复制基础知识的回顾，算是作为学习笔记，供以后自己翻阅。首先，简单想一下这个问题：为什么要复制数组？我的个人理解：在我们在利用一个数组时，在每一次使用，我们都希望它的值是初始值。这时我们就要对数组进行复制，以达到原始数组值的安全性。java数组复制大致分为3种方式：①for循环方式 ②clone方式 ③arrayCopy方
  • java web会话监听并使用spring注入 bewithme Java Web
            在java web应用中，当你想在建立会话或移除会话时，让系统做某些事情，比如说，统计在线用户，每当有用户登录时，或退出时，那么可以用下面这个监听器来监听。        import java.util.ArrayList; import java.ut
  • NoSQL数据库之Redis数据库管理(Redis的常用命令及高级应用) bijian1013 redis数据库NoSQL
    一 .Redis常用命令         Redis提供了丰富的命令对数据库和各种数据库类型进行操作，这些命令可以在Linux终端使用。         a.键值相关命令         b.服务器相关命令 1.键值相关命令       &
  • java枚举序列化问题 bingyingao java枚举序列化
    对象在网络中传输离不开序列化和反序列化。而如果序列化的对象中有枚举值就要特别注意一些发布兼容问题: 1.加一个枚举值 新机器代码读分布式缓存中老对象，没有问题，不会抛异常。 老机器代码读分布式缓存中新对像，反序列化会中断，所以在所有机器发布完成之前要避免出现新对象，或者提前让老机器拥有新增枚举的jar。 2.删一个枚举值 新机器代码读分布式缓存中老对象，反序列
  • 【Spark七十八】Spark Kyro序列化 bit1129 spark
    当使用SparkContext的saveAsObjectFile方法将对象序列化到文件，以及通过objectFile方法将对象从文件反序列出来的时候，Spark默认使用Java的序列化以及反序列化机制，通常情况下，这种序列化机制是很低效的，Spark支持使用Kyro作为对象的序列化和反序列化机制，序列化的速度比java更快，但是使用Kyro时要注意，Kyro目前还是有些bug。 Spark
  • Hybridizing OO and Functional Design bookjovi erlanghaskell
      推荐博文： Tell Above, and Ask Below - Hybridizing OO and Functional Design 文章中把OO和FP讲的深入透彻，里面把smalltalk和haskell作为典型的两种编程范式代表语言，此点本人极为同意，smalltalk可以说是最能体现OO设计的面向对象语言，smalltalk的作者Alan kay也是OO的最早先驱，
  • Java-Collections Framework学习与总结-HashMap BrokenDreams Collections
            开发中常常会用到这样一种数据结构，根据一个关键字，找到所需的信息。这个过程有点像查字典，拿到一个key，去字典表中查找对应的value。Java1.0版本提供了这样的类java.util.Dictionary(抽象类)，基本上支持字典表的操作。后来引入了Map接口，更好的描述的这种数据结构。  &nb
  • 读《研磨设计模式》-代码笔记-职责链模式-Chain Of Responsibility bylijinnan java设计模式
    声明： 本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步 原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ /** * 业务逻辑：项目经理只能处理500以下的费用申请，部门经理是1000，总经理不设限。简单起见，只同意“Tom”的申请 * bylijinnan */ abstract class Handler { /*
  • Android中启动外部程序 cherishLC android
    1、启动外部程序 引用自： http://blog.csdn.net/linxcool/article/details/7692374 //方法一 Intent intent=new Intent(); //包名 包名+类名（全路径） intent.setClassName("com.linxcool", "com.linxcool.PlaneActi
  • summary_keep_rate coollyj SUM
    BEGIN /*DECLARE minDate varchar(20) ; DECLARE maxDate varchar(20) ;*/ DECLARE stkDate varchar(20) ; DECLARE done int default -1; /* 游标中 注册服务器地址 */ DE
  • hadoop hdfs 添加数据目录出错 daizj hadoophdfs扩容
    由于原来配置的hadoop data目录快要用满了，故准备修改配置文件增加数据目录，以便扩容，但由于疏忽，把core-site.xml, hdfs-site.xml配置文件dfs.datanode.data.dir 配置项增加了配置目录，但未创建实际目录，重启datanode服务时，报如下错误： 2014-11-18 08:51:39,128 WARN org.apache.hadoop.h
  • grep 目录级联查找 dongwei_6688 grep
           在Mac或者Linux下使用grep进行文件内容查找时，如果给定的目标搜索路径是当前目录，那么它默认只搜索当前目录下的文件，而不会搜索其下面子目录中的文件内容，如果想级联搜索下级目录，需要使用一个“-r”参数： grep -n -r "GET" .   上面的命令将会找出当前目录“.”及当前目录中所有下级目录
  • yii 修改模块使用的布局文件 dcj3sjt126com yiilayouts
    方法一：yii模块默认使用系统当前的主题布局文件，如果在主配置文件中配置了主题比如: 'theme'=>'mythm', 那么yii的模块就使用 protected/themes/mythm/views/layouts 下的布局文件； 如果未配置主题，那么 yii的模块就使用  protected/views/layouts 下的布局文件， 总之默认不是使用自身目录 pr
  • 设计模式之单例模式 come_for_dream 设计模式单例模式懒汉式饿汉式双重检验锁失败无序写入
                    今天该来的面试还没来，这个店估计不会来电话了，安静下来写写博客也不错，没事翻了翻小易哥的博客甚至与大牛们之间的差距，基础知识不扎实建起来的楼再高也只能是危楼罢了，陈下心回归基础把以前学过的东西总结一下。   *********************************
  • 8、数组 豆豆咖啡 二维数组数组一维数组
      一、概念       数组是同一种类型数据的集合。其实数组就是一个容器。   二、好处       可以自动给数组中的元素从0开始编号，方便操作这些元素   三、格式   //一维数组 1,元素类型[] 变量名 = new 元素类型[元素的个数] int[] arr =
  • Decode Ways hcx2013 decode
    A message containing letters from A-Z is being encoded to numbers using the following mapping: 'A' -> 1 'B' -> 2 ... 'Z' -> 26 Given an encoded message containing digits, det
  • Spring4.1新特性——异步调度和事件机制的异常处理 jinnianshilongnian spring 4.1
    目录 Spring4.1新特性——综述 Spring4.1新特性——Spring核心部分及其他 Spring4.1新特性——Spring缓存框架增强 Spring4.1新特性——异步调用和事件机制的异常处理 Spring4.1新特性——数据库集成测试脚本初始化 Spring4.1新特性——Spring MVC增强 Spring4.1新特性——页面自动化测试框架Spring MVC T
  • squid3(高命中率)缓存服务器配置 liyonghui160com
        系统:centos 5.x   需要的软件:squid-3.0.STABLE25.tar.gz 1.下载squid wget http://www.squid-cache.org/Versions/v3/3.0/squid-3.0.STABLE25.tar.gz tar zxf squid-3.0.STABLE25.tar.gz &&
  • 避免Java应用中NullPointerException的技巧和最佳实践 pda158 java
    1) 从已知的String对象中调用equals()和equalsIgnoreCase()方法，而非未知对象。 　　总是从已知的非空String对象中调用equals()方法。因为equals()方法是对称的，调用a.equals(b)和调用b.equals(a)是完全相同的，这也是为什么程序员对于对象a和b这么不上心。如果调用者是空指针，这种调用可能导致一个空指针异常 Object unk
  • 如何在Swift语言中创建http请求 shoothao httpswift
    概述：本文通过实例从同步和异步两种方式上回答了”如何在Swift语言中创建http请求“的问题。 如果你对Objective-C比较了解的话，对于如何创建http请求你一定驾轻就熟了，而新语言Swift与其相比只有语法上的区别。但是，对才接触到这个崭新平台的初学者来说，他们仍然想知道“如何在Swift语言中创建http请求？”。 在这里,我将作出一些建议来回答上述问题。常见的
  • Spring事务的传播方式 uule spring事务
    传播方式：        新建事务       required       required_new   - 挂起当前         非事务方式运行       supports   &nbs
按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他