棋盘覆盖问题-分治策略

在一个2^k×2^k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。

问题: 用4种不同形态的L型骨牌, 覆盖给定特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个不得重叠。

1 : 代码求解

#include 
using namespace std;
const int MAX = 100;
int Board[MAX][MAX];
int times = 0;
void OutPut(int size)
{
    for(int i = 0; i < size; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < size; ++j)
            cout << Board[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}
void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
    if(size == 1)
        return ;
    int t = ++times;
    int s = size / 2;
    if(dr < tr + s && dc < tc + s)
    {
        ChessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        Board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
        ChessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
    }
    if(dr < tr + s && dc >= tc + s)
    {
        ChessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        Board[tr + s - 1][tc + s] = t;
        ChessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
    }
     if(dr >= tr + s && dc < tc + s)
    {
        ChessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        Board[tr + s][tc + s - 1] = t;
        ChessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
    }
     if(dr >= tr + s && dc >= tc + s)
    {
        ChessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        Board[tr + s][tc + s] = t;
        ChessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
    }


}
void InPut(int &dr, int &dc, int &size)
{
    scanf("%d %d %d", &dr, &dc, &size);
}
int main()
{
    int dr, dc, size;
    InPut(dr, dc, size);
    memset(Board, 0, sizeof(Board));
    ChessBoard(0, 0, dr, dc, size);
    OutPut(size);
}

注意：size表示的是边的数量，课本描述为size = 2 ^ k, 棋盘规格为  2 ^ k *  2 ^ k。

程序截图：

2 ： 时间复杂度分析

首先根据公式；

此题中规模为K（大写）， 则分解成四个子问题， 即 k（小写） = 4；每个子问题规模为 K - 1, 每个子问题的复杂度为O（1），

则得到；

        下面进行迭代求解：

        T(K) = 4T(K - 1) + O(1)    K > 0;

                = 4(4T(K - 2) + O(1)) + O(1）

                = 4 ^ 2 T(K - 2) + 4 ^ 1 O(1) + O(1);

                ......

                 = 4 ^ K T(K - K) + 4 ^ (K - 1)  +  4 ^ (K - 2) + ... + 1

                 = 4 ^ K T(0) +  4 ^ (K - 1)  +  4 ^ (K - 2) + ... + 1

                = O(4 ^ K);