（一）机器学习——逻辑回归（附完整代码和数据集）

什么是逻辑回归？

首先逻辑回归是一种分类算法，然后也是一种监督学习方法。逻辑回归是一种监督学习方法，也就是说逻辑回归问题的数据集都是带标签的。以二维平面点集为例：数据集的坐标x1（横坐标），x2（纵坐标）都叫数据集的特征，这里的x2（为了不和后面的y弄混，我们用x2表示）不是标签，对于逻辑归回解决的分类问题，标签是这个数据属于的类别，如果是二分问题，用{1,0}表示类别，那标签就是1或者是0。
逻辑回归算法和预测类算法中的线性回归算法有一定的类似性。简单来讲，逻辑回归，就是通过回归的方法来进行分类，而不是进行预测，比如预测房价等。

逻辑回归解决的问题

先看下面的图，已知平面上分布的红点和蓝点，逻辑回归算法就是解决怎么根据一系列点，计算出一条直线将平面上的点分成两类，一般的解决方法就是建立一个数学模型，然后通过迭代优化得到一个最优值，然后根据这个值来计算这条直线。

问题的转化

既然是二分问题，我们希望输入一个数，输出为y∈{0,1}，这样就能将样本点映射到两个不用的类别中。具体方法就是计算每个点属于类别“1”或者属于类别“0”的概率，哪个概率大，这个点就属于哪一类，那么这个问题就转化成了怎么计算每个点属于“1”或者“0”的概率。

激活函数

如图所示是激活函数的式子和图像。该函数也可以叫做概率函数，横坐标是输入的值，纵坐标是概率值，当概率值小于0.5时，y=0，当概率值大于0.5时，y=1。那输入的值又是什么呢？以一个二维数据点（X1，X2）为例，这个值就是z=W1×X1+W2×X2+W3。其中W3是平移项，用行向量矩阵表示X=[X1，X2， 1], W=[W1, W2, W3]

这里的权重W如果确定了，那这个逻辑回归问题也就解决了。所以我们的问题转化成了求解权重系数W=[W1, W2, W3]的问题。
需要注意的是，激活函数中的z值并不是二维数据点的纵坐标值，而是z=W1×X1+W2×X2+W3计算得来的。

极大似然估计法

计算概率的问题解决了，然后就是建立损失函数(目标函数)，然后根据目标函数使用梯度下降法求解W，该问题就解决了。说到底，这还是一个最优化的问题，更准确的讲是一个无约束优化问题。
一般性假设激活函数φ（z）是计算数据点属于“1”的概率，则：

将两个式子综合来，可以改写为下式：

上式将分类为0和分类和1的概率计算公式合二为一。假设分类器分类足够准确，此时对于一个样本，如果它是属于1类，分类器求出的属于1类的概率应该尽可能大，即p(y=1lx)尽可能接近1；如果它是0类，分类器求出的属于0类的概率应该尽可能大，即p(y=0lx)尽可能接近1。
通过上述公式对二类分类的情况分析，可知我们的目的是求取参数w，使得p(ylx)对0类和1类的分类结果尽可能取最大值，然而实际上我们定义的损失函数的是求最小值，于是，很自然的，我们想到对p(ylx)式子加一个负号，就变成了求最小值的问题，这就得到了逻辑回归中的损失函数。

不过，为了计算方便，我们通常对上述式子取log，因而得到下式：


对每个数据点进行累加，得到最终的损失函数（目标函数），也是对数似然函数：

然后对上述函数使用梯度下降法进行求解就得到了权重系数w。

梯度下降法

激活函数有如下等式成立。

基于上式对损失函数进行求导数：

设步长（学习速率）为η，权重系数w的迭代式为:

模型的测试

机器学习算法中的监督学习算法有个共同点，先用带标签的数据集进行学习，然后使用不带标签的数据集进行测试。训练数据集和测试数据集不能重复。

完整的逻辑回归python3源代码下载地址：
https://download.csdn.net/download/u014571489/10751551 （无测试部分代码和数据集）
https://download.csdn.net/download/u014571489/10753587 （添加了测试部分的代码和数据集）

逻辑回归算法的不足

逻辑回归算法只能解决二分类问题，逻辑回归扩展后的softmax Regression算法也只能解决线性可分问题。对于非线性可分问题，为了能够利用逻辑回归通常有两种方法（1）利用人工对特征进行处理，如使用核函数对特征进行处理，变成线性可分。但是人工的特征处理需要有一些领域的知识，难度比较大。（2）对基本的逻辑回归算法进行扩展，以适应更难的分类问题。