反常积分的判敛问题

首先要明白一个基本观点：反常积分如果出现在计算中，那么一定是收敛的，要不然算什么？

反常积分判敛的基本理论：

这是课本上的两个基本结论，当然在我看来，仅仅知道这两个结论还不足以解题，接下里的一些说法可能更加重要

（1）对于上述结论的记忆方法就是：收敛，无穷大，p也大；收敛，无穷小，p也小

分析：对于无穷区间来说，当x时，区间是无穷大的；对于无界函数来说，一定是有一个x的取值使得分母为0，即无穷小

（2）应当在f（x）无界 和 区间的位置讨论f（x）的等价代换，关注分母为0的点

（3）对于书写的另一种形式：实际上与课本上的写法具有相同的意义，只不过乘法是我们熟悉的形式，在判断反常积分的过程中广泛使用上面除法的形式，也是怪事!

例1：source：2010年真题

分析：这个函数当x=0时，是无界函数，瑕积分

  当x=1时，ln（1-X）又是无穷大，所以两种情况都需要考虑。

先分析x=0时，这个时候对于ln（1-X）就可以使用等价无穷小替换

此时对于任意的m,n，分母的系数都是小于1的，所以收敛，这种情况比较简单。

接下来分析x=1的情况，

老实说，张宇的解法我并没有理解，也可以说是看懂了，但自己绝对写不出来，还是按自己的方式来吧，采用上述中说的书写的另一种形式，

这里用到了tlnt相乘在0处取极限，极限值必为0，由于乘的系数k的值为1/2小于1，所以积分收敛。

当然问题讨论到这儿远没有结束，肯定会有人有这样的疑问，对于tlnt在0处的极限

不管小，多么大，其结果依然是0.既然这样，为什么要去1/2呢？取任何数的结果都是0，那取2不可以吗？这样的话按你的理论岂不是发散了？

对于该问题的解释：的确是这样取任何数都是0，所以这里就存在一个比较的问题，会发现取1/2的时候值是小的，也就是说取2的时候范围取大了。

总结：觉得最后的分析才是这道题的精华，很美的题目！