网络流对于二分图的 最小点覆盖数 最大匹配数 最大独立点集数 的作用

二分图：

即可以把图中所有顶点归为A部分和B部分，A中的各自顶点没有边相连。B中也一样。

可以用染色法判断。

以下都在二分图中讨论：

最大匹配数：

即匈牙利算法实现求的最大匹配数。比如HDU 2063 过山车。

实现最大配对对数。

最小点覆盖数：

选取最小数量的点集，可以使所有边中的某一端点（或两个）存在于这个点集。

最大独立点集数：

选取最大数量的点集，没有存在的边可以连接这些点。

针对于这些性质，有以下结论：

1.//证明：matrix67

最大匹配数=最小点覆盖数

2.//jianglangcaijin

最小覆盖点集和最大独立点集互补

最小点覆盖 +最大独立点集 = 总顶点数

类似的，在带点权的二分图中，最小点权覆盖集 +最大点权独立集 = 总权和

对于网络流在二分图这些定理的证明：

百度百科：

对两侧添加源汇点后可以从最小割最大流的角度理解。

在原图上对所有的边的左结点和右结点连一条容量无穷大的流（从左结点到右结点），然后再添加源汇顶点，对源点到每个左顶点添加容量为1的流，对每个右顶点到汇点添加容量为1的流。

易知，最大流即为最大匹配数。

我们来研究所有的割，我们将所有左顶点划为A1,A2两部分,右顶点划为B1,B2两部分，并研究从S并A1并B2到T并A2并B1这个割的最小取法（这个划分方式包含了所有可能的割），如若左顶点P到右顶点Q有边，那么最小割中显然不会有“P属于A1且Q属于B1”成立（否则就这一条边割出来就是无穷大，肯定不是最小割），于是最小割中所有的边PQ必满足“P属于A2或Q属于B2”，换句话说，A2，B2中所有顶点组成这个二分图的一个点集覆盖。

下面观察，我们易知，再最小割中，总的割必然等于S到A2的+B2到T的（这些是最小割中所有可能的边了）。而S到A2+B2到T就是A2，B2中所有顶点的个数总和，所以最小割就是满足题意（A2并B2构成最小点集覆盖）的A2并B2中顶点最少的情况，亦即最小点集覆盖，于是乎：

最大匹配数=最大流=最小割=最小点集覆盖

可以顺便看看

胡伯涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》中的：

5. 二分图的最小点权覆盖集与最大点权独立集