【网络流】基础二分图的最大匹配问题

        标题已经说了，所以有基础的牛们就别想在这篇博客里看到什么有价值的东西。这里的解法是最基础的。

        二分图是一种可以把图中的点分为两个不同的集合，且同一集合中不存在任意两个有边联通的点（就算是单向边也不行）的图。判断是否存在二分图有一个小技巧，如果有奇数条边的环，那么一定不存在二分图（相信可以自己想通）。至于最大匹配，就是选出尽量多的边，任意一个点只能与最多一条选中的的边相连。可以参照下面的图（a）。可能有人听说过“完美匹配”，就是说所有点都有在另一个集合中对应的点

        二分图的最大匹配问题，与另一个同为网络流问题的最大流问题，都有一个“最大”，那么这之间是否有什么关系呢？答案是，真的有！那么现在先来了解一下有关最大流问题的的一些知识：https://blog.csdn.net/weixin_41811117/article/details/79677054。链接里的最大流用的也是基本解法。至于网络流是什么？也在链接里。

        之前说过二分图最大匹配与最大流有点关系，其实思索一下就会发现，人为主动的在图中添加一个s点与一个t点，然后将左边的点都与s点建立一条权值为1的边，右边的点都与t点建立一条权值为1的边，且所有边都改成从左集合到右集合的有向边，原本图（a）的二分图这就成了图（b），一道经典的最大流问题。

        

 

 

优化

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​ 但是由于多增了n条边，复杂度也上去了不少，所以我们就要进行一些优化。

​ 我们可以对增广路稍稍做点修改，但是本质还是一样的。从左开始遍历时按照【遍历了（左→右）-没遍历（右←左）-遍历了（左→右）-……】这个模式走奇数步（这样终点才会在右边的集合）。为什么可以这样优化哪？相信这个问题读者能自己想通，并不是很难。

模板代码（DFS版）

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#include
#include
#include 
#include
#define max 505  
using namespace std;  
int map[max][max],p[max],m,n,k,ans; //存储图 ,邻接矩阵，p数组记录集合2中的点所匹配的点的编号   
bool vis[max]; //记录集合2中的每个点是否被搜索过  
int read(){
    int ret=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
    return  ret*f;
}
bool DFS(int x)  {  
    for(int i=1;i<=m;i++)  {  
        if(map[x][i]&&!vis[i]/*保证一个节点只经过一次*/)  {  
            vis[i]=1;  
            if(p[i]==0||DFS(p[i])){  
                p[i]=x;  
                return 1;  
            }  
        }  
    }  
    return 0;  
}    
void getanswer()  {  
    for(int i=1;i<=n;i++) {  
        memset(vis,0,sizeof(vis));//清空上次搜索留下的痕迹 ,以找长度大于1的增广路  
        if(DFS(i)) ans++;  //找到增广路，答案就加一 
    }
    return;
}  
int main() {  
    freopen("ls.in","r",stdin);  
    memset(map,0,sizeof(map));  
    memset(p,0,sizeof(p));  
    n=read();m=read();k=read();//A、B集合元素的个数 
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int x=read(),y=read();
        map[x][y]=1;//有向路 
    }
    getanswer();  
    if(!ans) printf("No Solution!\n");
    else printf("%d\n",ans);
    return 0;  
}  

 

 

        附上一道二分图匹配的模板题：Poj3041 http://poj.org/problem?id=3041

 

        题目大意（大部分翻译来自google，所以看不懂中文是正常的）：

 

小行星

时间限制： 1000MS		内存限制： 65536K
提交总数： 25001		通过： 13523

描述

贝茜希望通过一个N×N网格（1 <= N <= 500）形状的危险小行星带来驾驶她的飞船。网格包含K个小行星（1 <= K <= 10,000），它们位于网格的格点处。 

幸运的是，贝茜拥有一个强大的武器，可以消除任意一行或一列中的所有小行星。这种武器非常昂贵，所以她希望少用一些。给定所有小行星的位置，输出贝茜需要射击以消除所有小行星的最少射击次数。

输入

*第1行：两个整数N和K，由一个空格隔开。 
*第2行... K + 1行：每行包含两个空格分隔的整数R和C（1 <= R，C <= N），分别表示小行星的行坐标和列坐标。

产量

*第1行：表示贝茜必须射击的最少次数的整数。

示例输入

3 4
1 1
1 3
2 2
3 2

1 1
1 3
2 2
3 2

示例输出

2

暗示

输入详细信息： 
下图表示数据，其中“X”是小行星和“.”是空的格子： 
X.X 
.X. 
.X. 

输出细节： 
贝西可能在第1排开火，破坏（1,1）和（1,3）处的小行星，然后她可能击落第2列以破坏（2,2）和（3,2）处的小行星。 

 

【题解】

        我说过是模板题了。。。

 

感谢《算法竞赛_入门经典》的图