【网络流24题】最小路径覆盖(最小路径覆盖)

题意

给定有向图 G=(V,E) G = ( V , E ) 。设 P P G G 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果 V V 中每个顶点恰好在 P P 的一条路上,则称 P P G G 的一个路径覆盖。 P P 中路径可以从 V V 的任何一个顶点开始,长度也是任意的,特别地,可以为 0 0 G G 的最小路径覆盖是 G G 的所含路径条数最少的路径覆盖。

设计一个有效算法求一个有向无环图 G G 的最小路径覆盖。

题解

有向图的最小路径覆盖问题。
最小路径覆盖数目 = 顶点数 - 最大匹配数,考虑如何建立匹配模型。
将点 i i 拆为 i i i i ′ ,同理 j j 拆为 j j j j ′ 。令 i,j,k i , j , k … 为二分图的左集合, i,j,k i ′ , j ′ , k ′ … 为二分图的右集合。
若原图有 i>j i − > j 的有向边,则连边 i>j i − > j ′ ,容量为1。源点连左集合,容量为1,右集合连汇点,容量为1。跑最大流,得到二分图的最大匹配数目,进而得到最小路径覆盖数目。

为了输出可行解,要理解拆点后右集合的含义,其表示是否有有向路径以结尾。所以找到右集合中没有被匹配的顶点,即为最小路径覆盖的起点,再根据最大流的匹配关系,得到覆盖路径。

代码



#include
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int nmax = 1e6+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ull p = 67;
const ull MOD = 1610612741;
struct Dinic {
    int head[nmax], cur[nmax], d[nmax];
    bool vis[nmax], occ[nmax];
    int tot, n, m, s, t, front, tail;
    int qqq[nmax];
    struct edge {
        int nxt, to, w, cap, flow;
    } e[nmax<<1];
    void init(int n) {
        this->n = n;
        memset(head, -1, sizeof head);
        memset(e,0,sizeof e);
        this->tot = 0;
    }
    int add_edge(int u, int v, int c) {
        int temp = tot;
        e[tot].to = v, e[tot].cap = c, e[tot].flow = 0;
        e[tot].nxt = head[u];
        head[u] = tot++;
        e[tot].to = u, e[tot].cap = c, e[tot].flow = c;
        e[tot].nxt = head[v];
        head[v] = tot++;
        return temp;
    }
    bool BFS() {
//        memset(vis, 0, sizeof(vis));
//        queueQ;
        for(int i = 0; i <= n; ++i) vis[i] = false;
        front = tail = 0;
        vis[s] = 1; d[s] = 0;
//        Q.push(s);
        qqq[tail++] = s;
        while (front < tail) {
//            int u = Q.front(); Q.pop();
            int u = qqq[front++];
            for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].nxt) {
                int v = e[i].to;
                if (!vis[v] && e[i].cap > e[i].flow) {
                    vis[v] = 1;
                    d[v] = d[u] + 1;
//                    Q.push(v);
                    qqq[tail++] = v;
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }
    int DFS(int x, int a) {
        if (x == t || a == 0) return a;
        int Flow = 0, f;
        for (int& i = cur[x]; i != -1; i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].to;
            if (d[v] == d[x] + 1 && (f = DFS(v, min(a, e[i].cap - e[i].flow))) > 0) {
                Flow += f;
                e[i].flow += f;
                e[i ^ 1].flow -= f;
                a -= f;
                if (a == 0) break;
            }
        }
        return Flow;
    }
    int Maxflow(int s, int t) {
        this->s = s, this->t = t;
        int Flow = 0;
        while (BFS()) {
            for (int i = 0; i <= n; i++) cur[i] = head[i];
            Flow += DFS(s,INF);
        }
        return Flow;
    }
} dinic;
int n, m;
//vector > edge;
vector<int> ff;
int in[nmax], out[nmax];
int ss[nmax], top;
bool visit[nmax];
void dfs(int u) {
    visit[u] = true;
    ss[++top] = u;
//    printf("%d ",u);
    if(u == 2 * n) return;
    for(int i = dinic.head[u]; i != -1; i = dinic.e[i].nxt) {
        int v = dinic.e[i].to;
        if(!visit[v] && dinic.e[i].flow == 1 && i % 2 == 0) {
            dfs(v - n);
            return;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d %d", &n, &m);
    int u, v;
    int s = 0, t = 2 * n + 1;
    dinic.init(2 * n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        dinic.add_edge(s, i, 1);
    }
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%d %d", &u, &v);
        in[v] ++; out[u] ++;
        dinic.add_edge(u, v + n, 1);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        dinic.add_edge(i + n, t, 1);
    }
    int mxmatch = dinic.Maxflow(s, t);
    for(int i = dinic.head[t]; i != -1; i = dinic.e[i].nxt) {
        int v = dinic.e[i].to;
        if(v >= n + 1 && v <= 2 * n && dinic.e[i].flow) {
            ff.push_back(v - n);
        }
    }
    for(int i = 0; i < ff.size(); ++i) {
        top = 0;
        dfs(ff[i]);
        for(int j = 1; j <= top; ++j) {
            if(j == 1) printf("%d", ss[j]);
            else printf(" %d", ss[j]);
        }
        printf("\n");
    }
    printf("%d\n", n - mxmatch);
    return 0;
}

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