【网络流24题】最小路径覆盖（最小路径覆盖）
题意
给定有向图 G=(V,E) G = ( V , E ) 。设 P P 是 G G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果 V V 中每个顶点恰好在 P P 的一条路上，则称 P P 是 G G 的一个路径覆盖。 P P 中路径可以从 V V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为 0 0 。 G G 的最小路径覆盖是 G G 的所含路径条数最少的路径覆盖。
设计一个有效算法求一个有向无环图 G G 的最小路径覆盖。
题解
有向图的最小路径覆盖问题。
最小路径覆盖数目 = 顶点数 - 最大匹配数，考虑如何建立匹配模型。
将点 i i 拆为 i i 和 i′ i ′ ，同理 j j 拆为 j j 和 j′ j ′ 。令 i,j,k… i , j , k … 为二分图的左集合， i′,j′,k′… i ′ , j ′ , k ′ … 为二分图的右集合。
若原图有 i−>j i − > j 的有向边，则连边 i−>j′ i − > j ′ ，容量为1。源点连左集合，容量为1，右集合连汇点，容量为1。跑最大流，得到二分图的最大匹配数目，进而得到最小路径覆盖数目。
为了输出可行解，要理解拆点后右集合的含义，其表示是否有有向路径以结尾。所以找到右集合中没有被匹配的顶点，即为最小路径覆盖的起点，再根据最大流的匹配关系，得到覆盖路径。
代码
#includeQ;
for(int i = 0; i <= n; ++i) vis[i] = false;
front = tail = 0;
vis[s] = 1; d[s] = 0;
// Q.push(s);
qqq[tail++] = s;
while (front < tail) {
// int u = Q.front(); Q.pop();
int u = qqq[front++];
for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if (!vis[v] && e[i].cap > e[i].flow) {
vis[v] = 1;
d[v] = d[u] + 1;
// Q.push(v);
qqq[tail++] = v;
}
}
}
return vis[t];
}
int DFS(int x, int a) {
if (x == t || a == 0) return a;
int Flow = 0, f;
for (int& i = cur[x]; i != -1; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if (d[v] == d[x] + 1 && (f = DFS(v, min(a, e[i].cap - e[i].flow))) > 0) {
Flow += f;
e[i].flow += f;
e[i ^ 1].flow -= f;
a -= f;
if (a == 0) break;
}
}
return Flow;
}
int Maxflow(int s, int t) {
this->s = s, this->t = t;
int Flow = 0;
while (BFS()) {
for (int i = 0; i <= n; i++) cur[i] = head[i];
Flow += DFS(s,INF);
}
return Flow;
}
} dinic;
int n, m;
//vector > edge;
vector<int> ff;
int in[nmax], out[nmax];
int ss[nmax], top;
bool visit[nmax];
void dfs(int u) {
visit[u] = true;
ss[++top] = u;
// printf("%d ",u);
if(u == 2 * n) return;
for(int i = dinic.head[u]; i != -1; i = dinic.e[i].nxt) {
int v = dinic.e[i].to;
if(!visit[v] && dinic.e[i].flow == 1 && i % 2 == 0) {
dfs(v - n);
return;
}
}
}
int main(){
scanf("%d %d", &n, &m);
int u, v;
int s = 0, t = 2 * n + 1;
dinic.init(2 * n + 1);
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
dinic.add_edge(s, i, 1);
}
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d %d", &u, &v);
in[v] ++; out[u] ++;
dinic.add_edge(u, v + n, 1);
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
dinic.add_edge(i + n, t, 1);
}
int mxmatch = dinic.Maxflow(s, t);
for(int i = dinic.head[t]; i != -1; i = dinic.e[i].nxt) {
int v = dinic.e[i].to;
if(v >= n + 1 && v <= 2 * n && dinic.e[i].flow) {
ff.push_back(v - n);
}
}
for(int i = 0; i < ff.size(); ++i) {
top = 0;
dfs(ff[i]);
for(int j = 1; j <= top; ++j) {
if(j == 1) printf("%d", ss[j]);
else printf(" %d", ss[j]);
}
printf("\n");
}
printf("%d\n", n - mxmatch);
return 0;
}