HRBU-ACM 数论基础（理论篇）

                          竞赛中的数论
数论是Acm中的重点内容。历年竞赛题目，一般都有1-2道与数论有密切关系。数论涉及的概念和算法很多，用途也非常广泛。掌握与数论有关的方法，是参赛者需要具备的必要技能。

一.整除的规律
整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。
整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除
整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7
的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太
大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
整除规则第十四条（17）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差
太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的
前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
整除规则第十五条（19)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差
太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的
前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
整除规则第十六条（23）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除
整除规则第十七条（29）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除
整除规则第十八条（73）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除
整除规则第十九条（137）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除

举例：整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再
从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的
倍数，则原数能被7整除。
①147，截去个位数字后为14，用14-7*2=0，0是
7的倍数，所以147也是7的倍数。
②2198，截去个位数字后为219，用219-
8*2=203；继续下去，截去个位数字后为20，用
20-3*2=14，14是7的倍数，所以2198也是7的倍
数。

二.几个数论函数

 

 三.数论四大定理

1.中国剩余定理(又名中国剩余定理)

2.欧几里得算法

 

 

3.欧拉定理+费马定理