利用Kuhn-Munkras算法求最小权值匹配

本文参考博客：
http://blog.csdn.net/zhangpinghao/article/details/12242823（代码参考该博客）
http://philoscience.iteye.com/blog/1754498（个人认为对km算法讲解比较好）

KM算法求的是基于带权二分图中完备匹配下的最大权值匹配。关于km算法的讲解网上资料比较丰富，此处就不详述啦。这里主要整理一些用KM算法求最小权值匹配的一些问题。

• 在求最大权值匹配时，不存在的边的权值设为0。在求最小权值匹配时，可以考虑将对应的权值变为相反数，或者用一个很大的数减去权值，然后再来求最大权值匹配，最后将权值和取反即可。如果使用将对应的权值变为相反数的方法，则不存在的边的权值此时要设为INT_MAX（即，实际中求匹配时使用的是-INT_MAX），如此设置之后还需要特别注意溢出的问题， if( !sy[j] && ((lx[i] + ly[j] - weight[i][j] ) 这一句对于带符号整型数可能会溢出，所以此句可以改成if( !sy[j] && weight[i][j]!=-INT_MAX && ((lx[i] + ly[j] - weight[i][j] ),即不予考虑不存在的边。

• 注意，km算法求的是完备匹配，即x集中的点数m与y集中的点数n不一定相同，但m<=n，最终结果是给x集合中的每一个值都找到一个y中的匹配。

• 如果一个y集合中的点最多可以对应n个x集合中的点，则可以将y中的点数拓展n倍，最后变成一一对应的关系。

#include   
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#include    
#include 

using namespace std;  
      
#define MAX 100  
      
int m,n;	//x集与y集的点数
int weight[MAX][MAX];           //边的权重  
int lx[MAX],ly[MAX];            //期望值，定点标号  
bool sx[MAX],sy[MAX];           //记录寻找增广路时点集x，y里的点是否搜索过  
int match[MAX];                 //match[i]记录y[i]与x[match[i]]相对应  
      
bool search_path(int u) {          //给x[u]找匹配,这个过程和匈牙利匹配是一样的  
	int v;
	sx[u]=true;		  
	for(v=0; v=0)  
			sum+=weight[match[i]][i];  
      
	if(!max_weight)  
		sum=-sum;  
	return sum;  
      
}


int main(){  
    int i,j;
	printf("请输入X集与Y集的点数：M,N\n");
	scanf("%d%d",&m,&n);  
	printf("请输入权重\n");
	for(i=0;i

一些重要概念的补充：

• 二分图：顶点分为两个集合X和Y，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合X，另一个属于集合Y。
• 最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。（这个时候不涉及权值）
• 完备匹配与完美匹配：G=< V1, V2, E >，|V1|<=|V2|，M为G中的一个最大匹配，且|M|=|V1|，则称M为V1到V2的完备匹配，若|V2|=|V1|，则完备匹配即为完美匹配，若|V1|<|V2|，则完备匹配为G中的最大匹配。
• 匈牙利算法：用增广路求二分图的最大匹配。
• KM算法：利用匈牙利算法求完备匹配下的最大权重匹配。