反演变换

高中数学竞赛用过这种东西,但是大学一年没碰全忘了 …. emmmm…. 最近感觉大家都在用圆的反演变换 出 计算几何的 题 ,那就 …. 再学一遍吧

反演变换基本概念

  1. 定义 : 对于平面上的一点 O 和一个非零常数 k ,使得平面上任何一个异于 O 点的 A 与 A’ 存在以下关系 :
    1. A O A‘三点共线;
    2. OA * OA’ = k
      ,则这个变换称为平面的一个反演变换,记做I(O,k).其中,定点O称为 反演中心,常数k称为反演幂,点’ A称为点A的反点.
  2. 若在这种变换下 一个图形 F 变成了图形 F’,则成两个图形互为反形,若反演之后点的位置不发生变化,则称这个点为自反点,如果图形也不发生变换的话则称这个图形为自反图形。
  3. 设两条曲线u,v、相交于点A,l、m分别是曲线u,v、在点A处的切线(如果存在),则l与m的交角称为曲线u,v、在点A处的交角;如果两切线重合,则曲线u,v、在点A处的交角为0.特别地,如果两圆交于点,那么过点作两圆的切线,则切线的交角称为两圆的交角.当两圆的交角为90 时,称为两圆正交;如果直线与圆相交,那么过交点作圆的切线,则切线与直线的交角就是直线与圆的交角.当这个交角为90 时,称为直线与圆正交


反演的性质 :

  1. 定理1. 在反演变换下,不共线的两对互反点是共圆的四点.
  2. 定理2. 在反演变换I(0,k)下,设AB、两点(均不同于反演中心O)的反点分别为 A’B’ 则有’A’B’ = | k| * |AB| / (OA * OB )
  3. . 定理3. 在反演变换下,过反演中心的直线不变
  4. . 定理4. 在反演变换下,不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆;过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线.

性质的证明用到的都是基本的三角形相似和最基础的四点共圆 如果想证的快的话,最好知道一些圆幂定理。

反演一般来说经常用在圆中,因为可以把圆的关系转化到直线的关系上去做,多个圆的时候更能体现出这种优势。

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