旋转的左乘与右乘

知乎同款

引言

如果不明确旋转的定义和物理意义，那么本篇文章是没有意义的。本人曾在一本书籍上见到关于绕z轴旋转θ角的两种不同的旋转表示，也了解旋转在不同领域，甚至同一领域的不同应用场景都有不同的物理意义。
旋转的表示有很多种：旋转矩阵，欧拉角，四元数，轴角，李群与李代数。
旋转的应用场景也有很多种：惯性导航，机器人学（机械臂运动学，无人机姿态估计，SLAM等）。
本文将以旋转矩阵为载体，说明旋转（旋转矩阵）左乘与右乘的不同情况。

本文背景

我们首先给出绕x，y，z轴旋转的旋转矩阵表示：
$${\mathbf{R}}_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
$${\mathbf{R}}_y(\gamma )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & 0& \sin \gamma \\ 0& 1& 0\\ -\sin \gamma & 0& \cos \gamma \end{array}\right]$$
$${\mathbf{R}}_z(\alpha )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
其中，旋转角的正方向由右手螺旋定则给定。注意，绕Y轴旋转的旋转矩阵，-sin在下方。
其实，关于上面三个矩阵，不同书，不同库函数（甚至matlab的不同函数，makehgtform与angle2dcm）都不尽相同，我们之所以如此规定，是出于其物理意义。

以z轴旋转为例：

第一种物理意义，坐标系的旋转，其应用场景有SLAM，机械臂运动学等。

如上图所示，$P$点不变，坐标系$O-xyz$ 旋转 $\alpha$,得到新的坐标系$O-x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$，在新坐标系下，$P$点的坐标变为$P^{\prime }$，则有：
$$P={\mathbf{R}}_z(\alpha )P^{\prime }$$

第二种物理意义，向量的旋转，其应用场景有机器人的姿态估计等。

如上图所示，坐标系 $O-xyz$不变，$P^{\prime }$ 点旋转 $\alpha$,得到新的点 $P$（我也想反过来，但用的教材上的图，没办法），则有：
$$P={\mathbf{R}}_z(\alpha )P^{\prime }$$
没错，对比上面两个式子，这种旋转矩阵的规定，使得这两种物理意义是不冲突的，因此，我们选用上述的旋转矩阵规定。

坐标系旋转中的右乘——相对于自身坐标系旋转

为了简化，我们并不以绕x，y，z轴旋转表示旋转矩阵。记坐标系0,1,2。坐标系1相对于坐标系0的旋转矩阵，记为$R_1^0$,；坐标系2相对于坐标系1的旋转矩阵，记为$R_2^1$；坐标系2相对于坐标系0的旋转矩阵，记为$R_2^0$。点p在坐标系0,1,2中的坐标分别为$p^0,p^1,p^2$。
其中，相对于哪个坐标系旋转，就是绕哪个坐标系的轴旋转。则根据上小节，第一个物理意义，有以下关系式：
$$p^1=R_2^1{p}^2\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$p^0=R_1^0{p}^1\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$p^0=R_2^0{p}^2\text{\hspace{1em}(3)}$$
由上述1,2,3式可得：
$${\mathbf{R}}_2^0={\mathbf{R}}_1^0{\mathbf{R}}_2^1\text{\hspace{1em}(4)}$$
即证明了相对自身坐标系下，旋转矩阵按顺序右乘。

坐标系旋转中的左乘——相对于固定坐标系旋转

在推导像4式那样的关系之前，我们先推导同一个旋转在不同坐标系下有什么关系。假设0系坐标系下有两点$M,N$，其在1系的坐标 $\bar{M},\bar{N}$，类比上述的符号定义，则有以下关系式：
$$M=R_n^{m}N\text{\hspace{1em}(5)}$$
$$\bar{M}={\bar{R}}_n^m\bar{N}\text{\hspace{1em}(6)}$$
$$M=R_1^0\bar{M}\text{\hspace{1em}(7)}$$
$$N=R_1^0\bar{N}\text{\hspace{1em}(8)}$$
将7,8式代入5式得，
$$R_1^0\bar{M}=R_n^m{R}_1^0\bar{N}\text{\hspace{1em}(9)}$$
由9式即可得到我们想要的关系式，
$$R_n^m=R_1^0{\bar{R}}_n^m{R}_0^1\text{\hspace{1em}(10)}$$

好了有了上面的结论，我们开始进入正文。记坐标系0,1,2（上面说的0,1系只是为了表述两个不同的坐标系，与这里的不同），其中记固定坐标系为0系。另外，因为旋转是个“事实”，旋转矩阵只不过是描述这个“事实”的工具，因此我们如下表述：坐标系1相对于坐标系0的旋转，在固定坐标系下的旋转矩阵，记为 ${\bar{R}}_1^0$；坐标系2相对于坐标系1的旋转矩阵，在固定坐标系下的旋转，记为 ${\bar{R}}_2^1$；坐标系2相对于坐标系0的旋转，在固定坐标系下的旋转矩阵，记为 ${\bar{R}}_2^0$。

由公式10及0系为固定坐标系的定义可知，
$${\bar{R}}_1^0=R_1^0\text{\hspace{1em}(11)}$$
$${\bar{R}}_2^0=R_2^0\text{\hspace{1em}(12)}$$
$${\bar{R}}_2^1=R_1^0{R}_2^1{R}_0^1\text{\hspace{1em}(13)}$$
为了读者理解，特此对公式13进行解释，此时的$R_2^1$是相对于1系的旋转，就相当于 ${\bar{R}}_n^m$, ${\bar{R}}_2^1$是相对于固定坐标系（0系）的旋转，就相当于 $R_n^m$，而1系相对于0系的旋转矩阵为$R_1^0$。

将公式11-13代入公式4，可得
$${\bar{R}}_2^0=R_1^0{R}_0^1{\bar{R}}_2^1{R}_1^0={\bar{R}}_2^1{\bar{R}}_1^0\text{\hspace{1em}(14)}$$
即证明了在固定坐标系下，旋转矩阵按顺序左乘。

向量旋转中的左乘

在固定坐标系下，有一点 $p_0$, 先通过旋转矩阵$R_0^1$,将其旋转到$p_1$，再通过旋转矩阵$R_1^2$,将其旋转到$p_2$。同样对于$p_0$，可以通过旋转矩阵$R_0^2$,一步将其旋转到$p_2$。则有以下公式：
$$p_1=R_0^1{p}_0\text{\hspace{1em}(15)}$$
$$p_2=R_1^2{p}_1\text{\hspace{1em}(16)}$$
$$p_2=R_0^2{p}_0\text{\hspace{1em}(17)}$$
易得：
$$R_0^2=R_1^2{R}_0^1\text{\hspace{1em}(18)}$$

向量旋转中的右乘

把18式两边取个逆就好。等式成立的代价是旋转矩阵的物理意义，或者说描述也改变了。向量旋转中的右乘这一节本没必要，甚至会引起人误解。但这里还是留出来，是因为误解总会发生的，还不如提前搞明白。

在处理旋转问题上，一定要弄清楚其物理意义，是坐标系旋转还是向量，是哪个点到哪个点；符号规定也要统一，上标代表什么，下标又代表什么，要与物理意义联系起来。（至少自己不糊涂吧）

旋转小知识

1. 绕x，y，z轴的旋转顺序有几种？

• 12种，以先绕x轴为例，有xyz，xzy，xzx，xyx。

2. 为什么旋转表示那么多？

• 头脑风暴开始…欧拉角很直观，但是不连续的，有奇异点；四元数连续，且可以通过机体坐标系的角速度更新，但需要归一化，不适合用于优化；轴角实际上属于李代数；而李代数既连续，也无约束，适合优化；旋转矩阵属于李群；说到群，其实旋转矩阵也可以由基变换得到（矩阵论里的了）。