全单模矩阵应用——指派问题实例

将T1、T2两个任务分配给工人W1、W2，每人只能完成一项任务。每人完成任务的工作成本如下：

	w1	w2
T1	$c_1$	$c_2$
T2	$c_3$	$c_4$

假设指派矩阵如下：

	w1	w2
T1	$x_1$	$x_2$
T2	$x_3$	$x_4$

于是有：

$$\begin{array}{c}minz=c_1{x}_1+c_2{x}_2+c_3{x}_3+c_4{x}_4\end{array}$$

$$\begin{gathered} s.t. \\ {x}_1+x_2=1 \\ {x}_3+x_4=1 \\ {x}_1+x_3=1 \\ {x}_2+x_4=1 \\ {x}_1,x_2,x_3,x4\in \{0,1\} \end{gathered}$$
这个线性规划的系数矩阵是：
$$\left[\begin{array}{ccccccc}1& & 1& & 0& & 0\\ 0& & 0& & 1& & 1\\ 1& & 0& & 1& & 0\\ 0& & 1& & 0& & 1\end{array}\right]$$
容易证明，这是一个全单模矩阵。因此，直接求线性规划实数解即可得到整数解。