全面理解卷积

文末有很多经典文章供参考。
非常推荐这一篇文章：谈谈离散卷积和卷积神经网络

概述

• 卷积的实质：
  
  • 数学角度：==卷积实际上是一种积分运算，而且是线性运算(从离散角度理解),用来求两个曲线重叠区域的面积，可以看作加权求和。==，实际上积分就是极限求和。所以离散和连续并没有本质区别。
  • 信号角度：对信号进行滤波

卷积定理可以将时空域的卷积等价位频域的相乘，进而利用FFT等快速算法，可以节约很大的运算成本

卷积分为:
* 连续卷积
* 离散卷积

注:二者的区别实际上就是连续和离散的区别, 我们课本上学的一般是联系形式，但是为了推广到高维，所以之后我们会采用离散的形式去表示

来源

从冲激函数而来，为了表示某一个瞬时量，要对这个瞬时量求积分(面积)，图1-8有一个箭头就是为了说明无论这个矩形脉冲信号，被挤压的如何小，都始终存在。

卷积的数学表示:

1. 一维情况下的卷积
   
   • 连续卷积

• 离散化表示
  

注: k是参变量, i是自变量,这里h就是一维的卷积核。

1. 多维卷积(以二维为例)
   

注: p,q是参变量，i,j是自变量，这里h就是二维的卷积核。

1. 卷积数学细节的注意点

   • 卷积核实际上就是滑动的那个mask(掩模/模板),也就是对应公式（1）,（2）的h。大多数的mask是对称的，详情戳这里

   • 一维卷积后的长度是原来两个序列长度求和减1(因为最大长度要使得两个序列至少有1个项重合，即两个序列长度求和再减去重合的一项的长度)

   • 公式（1），（2）中的序号k,q,p其实表示的是两个卷积序列的相对位置关系，也就是与被卷积信号的坐标不相同。

   • 卷积的两个信号的坐标既可以是时间坐标也可以是空间的坐标，甚至是时空坐标。只不过，如果是时间坐标，注意坐标不可为负。

连续卷积动图演示

注: 这个图在信号分析的计算中是有一个结论的，完全相同的两个矩形波叠加会产生一个三角波,不相同的矩形波会产生一个梯形波。所以在计算三角波和矩形波的频域表示的时候，常常会用到这个结论。
==详细推导，之后补上==

3. 理解本质去计算：

卷积在图像处理的应用

首先声明图像对于计算机来说就是数值矩阵

• 灰度图就是一个数值矩阵
• 彩色图就是多个数值矩阵的叠加。

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卷积在图像中的应用
1. 用来消除噪声
2. 特征增强

原因:

在概述中我们提到：==卷积实际上是一种积分运算，用来求两个曲线重叠区域的面积，可以看作加权求和。

滤波器角度理解：积分运算本来就有平滑的作用(因为是累积的呀，略略略)，所以比起卷积前的两个函数，两者卷积后函数会变得更加光滑，相当于一个高通滤波器(高于截至频率频的信号可以通过，低于截止频率的信号不可以通过。)，所以高频的噪声受到卷积的影响更大，也就是频率越高，收到卷积的影响就越到，就会变得相对自己越平滑，所以就可以有效的滤波。而噪声一般都是高频信号。

加权求和理解: 每一点的像素值都是周围点的像素值的加权平均代替。

所以卷积一般广泛应用于图像滤波，数据平滑处理。

参考:
1. 卷积的本质及物理意义（全面理解卷积）
2. 信号分析与处理，赵光宇
3. Wiki
4. 多维卷积与一维卷积的统一性（运算篇）
5. 卷积神经网络CNN总结
6. 如何通俗易懂地解释卷积？
7. 卷积为什么叫「卷」积？
8. 卷积 visualization
9. 块卷积演示
10. CS231n Convolutional Neural Networks for Visual Recognition
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