动态规划解决拦截导弹问题

拦截导弹问题

问题简介：某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的高度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后面的导弹，再拦截前面的导弹。

输入格式：
第一行，输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量k（k<=25），第二行，输入k个正整数，表示k枚导弹的高度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。

输出格式：
输出只有一行，包含一个整数，表示最多能拦截多少枚导弹。

输入样例：
8
300 207 155 300 299 170 158 65

输出样例：
6

思路简介

这个问题可以看做是求最长降序子序列。
设数组arry[]为数据存储数组，dp[i]数组为记录当前位置i处最大的降序子序列的个数。
dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);（j从0到i-1）如果满足arry[i]<=arry[j]；则判断是否使用当前arry[j]。如果使用了它就进行dp[j]+1因为它前面可以看成一个子问题，而且已经有最优解就是dp[j];如果不使用就使用dp[i],它也代表一个最优解;然后 进行dp[i]=max(dp[i],d[j]+1) 选最长的，这样就得到了最后的最优解，保证了一直是最优解。
因为去掉当前元素，它前面的元素所构成的序列仍然是最优解，并不影响前面。

代码片

代码片.

#include <iostream>

using namespace std;
#define nmax 100
int main()
{
     
    int n;
    int ansmax=0;
    int arry[nmax];  //保存数据数组
    int dp[nmax];    //记录当前最长下降子序列的数组
    cout<<"输入导弹数目:"<<endl;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
     
        dp[i]=1;     //初始化为1
        cin>>arry[i];
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
     
        for(int j=0;j<i;j++)//拿当前元素和它前面元素作比较
        {
     
            if(arry[i]<=arry[j])//如果满足小于或等于，则考虑是否使用它arry[i]
            {
     
                dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
                //如果使用，则dp[j]+1;如果不使用，则为dp[i];
                //当前选择最长的，即:max(dp[j]+1,dp[i])
            }
        }
         ansmax=max(ansmax,dp[i]);//选出最长的子序列输出个数
    }
    cout << "拦截最大数目为:"<<ansmax<< endl;
    return 0;
}

运行结果