拓展欧几里得算法

参考链接：

 

http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595

https://baike.baidu.com/item/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95/1053275?fr=aladdin

 

 

扩展算法：

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

求解 x，y的方法的理解

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

 

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

有种较为不严谨的方法证明，不过至少弥补了一点空白，望某些数论大师补充修改：

由于我们知道，存在一组x与y使得a*x+b*y=gcd(a,b)。

将等式两边同时乘以整数k，即a*x*k+b*y*k=gcd(a,b)*k。如果c mod gcd(a,b)=f，则0<=f

那么可以令c=gcd(a,b)*k+f。这样一来，就有a*x*k+b*y*k+f=c。

若f0，由于f

所以f=0，即只有当c mod gcd(a,b)=0时，a*x+b*y=c有正整数解。得证。

上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：

p = p0 + b/Gcd(a, b) * t

q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可，但是所得解并不是该方程的所有解，找其所有解的方法如下：

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，可以

得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：

p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

 

 

 

来，接下来介绍个逆元给你们，拓欧非常经典的某个。

参考链接：https://www.cnblogs.com/dupengcheng/p/5487362.html

 

 

 

在开始之前我们先介绍3个定理：

1.乘法逆元（在维基百科中也叫倒数，当然是 mod p后的,其实就是倒数不是吗？）:

如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

  

2.费马小定理（定义来自维基百科）：

假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为（要p不是质数（素数），mod p可能最终结果为0）

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成

 

扩展欧几里得

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式

 

好了，在明白上面的定理后我们开始分析乘法逆元：ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1，即 a%p*x%p=res,res%p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式- -。那么问题来了。

 

为什么可以用费马小定理来求逆元呢？

由费马小定理 a^(p-1)≡1 , 变形得 a*a^(p-2)≡1(mod p)，答案已经很明显了:若a,p互质,因为a*a^(p-2)≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),

则x=a^(p-2)(mod p),用快速幂可快速求之。

 

为什么可以用扩展欧几里得求得逆元？

我们都知道模就是余数，比如12%5=12-5*2=2，18%4=18-4*4=2。（/是程序运算中的除）

那么ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。

 

知道逆元怎么算之后，那么乘法逆元有什么用呢？

做题时如果结果过大一般都会让你模一个数，确保结果不是很大，而这个数一般是1e9+7，而且这个数又是个素数，加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果，但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数，如果原本的结果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。（除一个数等于乘它的倒数，虽然这里的逆元不完全是倒数，但可以这么理解，毕竟乘法逆元就是倒数的扩展）。

代码：

拓展欧几里得求逆元（模板）：

 

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long LL;

LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

LL cal(LL a,LL b,LL c)
{
    LL x,y;
    LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd!=0) return -1;
    x*=c/gcd;
    b/=gcd;
    if(b<0) b=-b;
    LL ans=x%b;
    if(ans<=0) ans+=b;
    return ans;
}

int main()
{
    LL a,b,t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        LL ans=cal(a,b,1);
        if(ans==-1) printf("Not Exist\n");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

 

用费马小定理求逆元：

 

#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

LL mod;

LL inverse(LL x,LL y) 
{
    LL sum=1;

    while(y)  ///快速幂
    {
        if(y&1) sum=sum*x%mod;

        y/=2;

        x=x*x%mod;
    }

    return sum;

}



int main()
{

    LL a,b;

    while(~scanf("%lld%lld",&a,&mod)) ///求a关于b的逆元
    {

        printf("%lld\n",inverse(a,mod-2));

    }

    return 0;
}

 

 

解题思路：

Oj 25500：

只要是求有两个未知数的解，可以考虑用拓展欧几里得，a*x+b*y=c，其中x，y是未知数，不要思维定势单单的x和y，

例如，已知a，b，x,y,p;我们通过题意得出一个方程：

 b-a=（y-x）*t+（g-k）*p，此时t就是x，g-k就是y，b-a就是c。我们可以通过拓展欧几里得求出t的最小值或者g-k的最小值（求出其中一个，再解下方程就行了）。