欧几里得算法&&扩展欧几里得算法

欧几里得算法

• 欧几里得算法用于求两个数的最大公约数，也叫辗转相除法
• 证明：若 a=k*b+r
  则r=a%b 且r=a-k*b
  所以若存在 g是a，b的最大公约数（ g|a && g|b ）
  那么一定有 g|(a-k*b) 则一定 g|(a%b)
  所以a和b的最大公约数就是b和a%b的最大公约数
• 终止条件：a%b为0是，返回此时的a，也就是a%b中的b
• 举个例子模拟一下：
  a=20,b=15
  20和15的最大公约数就是15和5的最大公约数
  15和5的最大公约数就是5和0的最大公约数 即为5

int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

• 欧几里得算法求的是两个数的最大公约数，扩展欧几里得算法可以求出
  a*x+b*y=gcd(a,b) 的x,y 通解，即求出最大公约数的同时可以求出一组x和y，使得原式成立
  先看一下写法（有“//”的代码很重要）

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;//
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    int xx=x;//
    x=y;//
    y=(xx-a/b*y);//以上这三行是扩欧的精髓
    return ans;
}

• 终止条件：这和欧几里得算法是一样的。不同的是，除了要返回gcd外，还要给x和y赋值。因为此时b为0，所以a*1+b*0==gcd，所以x=1,y=0；
• 递归过程：比欧几里得算法多出的步骤是给x,y一步步赋值，直到得到答案。
• 正确性证明：
  设此时函数为ecgcd（a,b,x,y）
  则下一次递归的函数为exgcd（b,a%b,x,y）
  假设我们已经得到一组x和y（终止时得到），那么返回上一个函数时，x，y应该怎样变化？
  将得到的x和y带入方程，有 b*x+a%b*y=gcd
  又因为 a%b=a-a/b*b
  所以得到 b*x+(a-a/b*b)*y=gcd
  进一步化简 a*y+b*(x-a/b*y)=gcd
  又因为 a*x+b*y=gcd
  所以可以得到两个函数之间x,y的关系
  原式得证