数论学习三之——中国剩余定理

所谓中国剩余定理，实际上就是同余方程组,下面我们给出中国剩余定理的定义：
The Chinese Remainder Theorem: 设$n_1,n_2,...,n_k$是两两互素的正整数，则我们可以得到同余方程组
$$\begin{gathered} a\equiv a_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_1 \\ a\equiv a_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_2 \\ \cdots \end{gathered}$$
$a\equiv a_k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{n}_k$
有模$n=n_1{n}_2...n_k$的唯一解
同余方程组可以转换为多项式$a=(a_1\ast c_1+...a_i\ast c_i+...a_k\ast c_k)$.由这个多项式我们可以直接求出$a$来。
这个时候我们又遇到了个问题，怎么求出$c_i$
$c_i=m_i\ast m_i^{-1}$（证明咱就不证了，嘿嘿嘿）
注意：这里的$m_i^{-1}$并不是$\frac{1}{m_i}$而是$m_i$的逆元
其实中国剩余定理本身并没有模板，给出的一个同余方程组，关键在于逆元的求解，那么逆元是什么意思的，这就是解释——设$m_i^{-1}$是$m_i$的逆元, 那么$(\frac{a}{m_i})\%p=(a\ast m_i^{-1})\%p$ (再次强调这里的$m_i^{-1}$是$m_i$的逆元)
下面我们给出几种求逆元的方法：

一、蒙哥马利快速幂求逆元
（注意：只有当p为质数的时候才能用，所以快速幂求逆元有很大的局限性）

typedef long long ll;
ll q_pow(ll a, ll b, ll m)		//快速幂
{
    long long ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans = (ans * a) % m;
        }
        a = (a * a) % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll get_inv(ll x, ll p) 		//逆元求解
{ 
	return bin(x, p - 2, p); 
}

二、扩展欧几里得求逆元

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)		//扩展欧几里得算法
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll d = exgcd(b, a % b, x, y);
	ll t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return d;
}

ll get_inv(ll a, ll M) 		//扩欧求逆元
{ 
	static ll x, y; 
	assert(exgcd(a, M, x, y) == 1); 
	return (x % M + M) % M; 
}

然后以后遇到这种类型的题目，又是套模板了，嘿嘿嘿！
如下给出典型例题：
$POJ$ 1006
$HDOJ$ 4569