菜鸡的初入数论（1）——欧几里得与扩展欧几里得小结

emmmm..明明是拿来自己总结的。。却总感觉想要写的像给别人看。。。突然感觉好丢脸。。好了进入正题。

欧几里得算法是指欧几里得用来求最大公因数的方法——辗转相除法。既：gcd(a,b)=gcd(b（a1),a%b(b1))。当b1为零时，则a1为a和b的最大公因数；

代码如下：

int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}

这里不需要关心a和b的大小关系，因为假如a

设c=gcd(a,b);d=gcd(b,a%b);

因为d是b和a%b的公因数，所以有

b%d=0;（1）

(a%b)%d=0;（2）

又因为a%b=a-（a/b）*b；（/为整除，既抹去后面小数点）

得出a=(a%b)+（a/b）*b（3）

由（1）（2）（3）可得出

a%d=0；(4)

4,5可得出d为a，b公因数

又因为c为a，b的最大公因数

所以有d<=c；

b%c=0；（5）

a%c=0；（6）

由（5）（6）（3）可得出

（a%b）%c=0；（7）

5，7可得出c为a%b，b的公因数

又因为d为最大公因数

所以有c<=d

所以c=d；

欧几里得算法就讲到这里，接下来说扩展欧几里得；

扩展欧几里得，用于求解不定方程：ax+by=gcd

因为是不定方程，所以多解是肯定的（废话），顺便一提，他好像肯定有解。。。。不过我不知道怎么证明；

但他的解肯定为如下：

x=x0+(b/gcd)*t

y=y0-(a/gcd)*t

其中x0,y0为一个特定解，t为一个整数。

这块比较好解释，假设t=1（懒得打t了）

a*x+b*y=a*x0+(b/gcd)*a+y0*b-(a/gcd)*b=a*x0+b*y0=gcd （又是废话。。。不过怕以后看不懂啊。。）

至于这里为什么要使用b/gcd和a/gcd，emmmm。。。。。gcd是a和b的最大公因数，所以a/gcd和b除gcd应该是互相为素数的。。。。。所以这应该就是最小的系数了。。

接下来就是扩展欧几里得的详细解释，先上代码：

void exgcd (int a1,int b1,int gcd,int &x,int &y)//a1*x+b1*y=gcd 
{
	if(b1==0)
	{
		x=1;
		y=0;
	}
	else
	{
		exgcd(b1,a1%b1,gcd,x,y);
		int v=x;
		x=y;
		y=v-(a1/b1)*y;
	}//逆元时a1为需要逆元数，b1为模，x为得数；&为引用，否则无法录入。。。应该没有人和我一样不知道吧。。
}

按照代码解释：

首先当b1=0的时候，a1*x+b1*y=gcd 只有一个解了应该，a1=gcd，x=1

而当b1!=0的时候：

a*x+b*y=gcd；（1

由欧几里得定理可以得知

gcd(a,b)==gcd(b,a%b);

这个证明在上面哦

ok，继续

接下来由于a*x+b*y=gcd(a,b)（这里写的全一些，容易理解），

所以有b*x0+(a%b)*y0=gcd(b,a%b)=gcd(a,b);（反正都一样了，下面就继续用gcd代替了哦）

并且由求余本质(a%b=a-b*(a/b)((这里的‘/’为整除哦)))可以得到下列式子：

b*x0+(a-b*(a/b))*y0=gcd; 

在变形，得到下列式子：

a*y0+b*(x0-(a/b)*y0)=gcd;（2

由（1，（2放在一起可以得出：

x=y0;

y=x0-(a/b)*y0;

emmmm,大功告成，接下来无限递归到b1==0的时候就可以了！

证明终了！（一直想说一次这句话呢）

好吧，还有逆元。。。等下次写逆元专题一块放吧。。。懒得动弹