多项式求逆——学习笔记

基本概念

• 多项式的度：对于一个多项式 A(x) A ( x ) ,称其最高项次数为多项式的度，记作 degA d e g A

• 多项式的逆元：对于 A(x) A ( x ) 若存在 B(x) B ( x ) 满足 degB≤degA d e g B ≤ d e g A 且
  

  A(x)B(x)≡1(modxn) A ( x ) B ( x ) ≡ 1 ( mod x n )
  
  就称 B(x) B ( x ) 为 A(x) A ( x ) 在模 xn x n 意义下的逆元。

  实际上就是多项式乘法的逆元。注意是多项式逆元是在数乘法有逆元的前提下才有的。

算法

大概是个倍增。

当 n=1 n = 1 时， A(x)≡a0(modx) A ( x ) ≡ a 0 ( mod x ) ，所以 A−1(x)=c−1 A − 1 ( x ) = c − 1 。

当 n>1 n > 1 时，设 B(x) B ( x ) 是 A(x) A ( x ) 模 xn x n 下的逆元，设 B′(x) B ′ ( x ) 是 A(x) A ( x ) 模 x⌊n2⌋ x ⌊ n 2 ⌋ 下的逆元且已求出，则

A(x)B(x)≡1(modx⌊n2⌋),A(x)B′(x)≡1(modx⌊n2⌋) A ( x ) B ( x ) ≡ 1 ( mod x ⌊ n 2 ⌋ ) , A ( x ) B ′ ( x ) ≡ 1 ( mod x ⌊ n 2 ⌋ )

两式相减，得

B(x)−B′(x)≡0(modx⌊n2⌋) B ( x ) − B ′ ( x ) ≡ 0 ( mod x ⌊ n 2 ⌋ )

现在是重要的一步，两边平方，把 x⌊n2⌋ x ⌊ n 2 ⌋ 推到 xn x n :

B2(x)−2B(x)B′(x)+B′2(x)≡0(modxn) B 2 ( x ) − 2 B ( x ) B ′ ( x ) + B ′ 2 ( x ) ≡ 0 ( mod x n )

然后同乘 A(x) A ( x ) :

B(x)≡2B′(x)−B′2(x)A(x)(modxn) B ( x ) ≡ 2 B ′ ( x ) − B ′ 2 ( x ) A ( x ) ( mod x n )

就可以倍增啦，用 NTT N T T 做乘法，复杂度:

T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn) T ( n ) = T ( n / 2 ) + O ( n log ⁡ n ) = O ( n log ⁡ n )

模板：

#include
int main(){

}