数论

比赛常用到的数论知识总结

//0.素数判定
bool prime(int x) {
    for(int i=2; i*i<=maxn; i++)  //降低时间复杂度
        if(x%i==0)
            return false;
    return true;
}
//1.筛法素数打表
void getprime(int n) {
    int k=0,ans[maxn];
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    ans[0]=ans[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(!ans[i])
            for(int j=i*i; j<=n; j+=i)
                ans[j]=1;              //标记变量
    }
    for(int i=2; i<=n; i++)
        if(!ans[i])                //值为0的都是素数
            ans[k++]=i;
    ans[k]='\0';
    for(int i=0; ans[i]!='\0'; i++)
        cout<" ";
    cout<//2.欧拉定理
//于正整数N，代表小于等于N的与N互质的数的个数，记作φ(N)
//φ(N) =  n*(1-1/p1)*(1-1/p2)···
//引理1:如果n为某一个素数p，则φ(p)=p-1;
//引理2:如果n为某一个素数p的幂次，那么φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)
//引理3:如果n为任意两个数a和b的积，那么φ(a*b)=φ(a)*φ(b)
void euler_phi(int n) {
    int sum=n;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(n%i==0) {
            sum=sum/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        sum=sum/n*(n-1);
    cout<//3.GCD&&扩展GCD
int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);    //不断递归
}
//求出x,y，满足Ax+By=gcd(A,B)
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=extend_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=x*(a/b);
    return r;
}
//4.中国剩余定理
int CRT(int a[],int m[],int n) {
    int M=1;
    for(int i=0; iint ret=0;
    for(int i=0; iint x,y;
        int tm=M/m[i];
        extend_gcd(tm,m[i],x,y);
        ret=(ret+tm*x*a[i])%M;
    }
    return (ret+M)%M;
}
//5.进制转换
string transform(int x,int y,string s) {
    string res="";
    int sum=0;
    for(int i=0; iif(s[i]=='-')
            continue;
        if(s[i]>='0'&&s[i]<='9')
            sum=sum*x+s[i]-'0';
        else
            sum=sum*x+s[i]-'A'+10;
    }
    while(sum) {
        char tmp=sum%y;
        sum/=y;
        if(tmp<=9)
            tmp+='0';
        else
            tmp=tmp-10+'A';
        res=tmp+res;
    }
    if(res.length()==0)
        res="0";
    if(s[0]=='-')
        res='-'+res;
    return res;
}
//6. 快速幂
void quickpow_mod(int a,int n,int mod) {
    int k=a%n,sum=1;
    while(n) {
        if(n&1)
            sum=sum*k%mod;
        k=k*k%mod;
        n>>=1;
    }
    cout<//7.日期计算
bool Isleap(int year) {
    if(year%400==0||year%100&&year%4==0)
        return true;
    return false;
}
int leap(int y) {
    if(!y)
        return 0;
    return y/4-y/100+y/400;
}
int calc(int day,int mon,int year) {
    int res=(year-1)*day+leap(year-1);
    int s[12]= {31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
    for(int i=1; iif(Isleap(year)&&mon>2)
        res++;
    res+=day;
    return res;
}
void count_day(int da,int ma,int ya,int db,int mb,int yb) {
    int resa=calc(da,ma,ya);
    int resb=calc(db,mb,yb);
    cout<<abs(resa-resb)<//8.Catalan数
//1,1,2,3,5,14,42,132,429,1430,4862,16796
//f(n)=f(2)*f(n-1)+f(3)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(2)   边界是f[2]=f[3]=1;
void Catalan(int n) {
    ll count=1;
    for(int i=1,j=2*n; i<=n; i++,j--)
        count=count*j/i;
    cout<1)<//9.第二类Stirling数、Bell数
//1,2,5,15,52,203,877,140,147,975
ll a[2005][2005]= {1};
ll b[2005];
void Bell(int n,int c) {
    for(int i=1; i<=2000; i++) {
        a[i][0]=0;
        a[i][i]=1;
        for(int j=1; j1][j-1]+j*a[i-1][j])%c;
    }
    for(int i=1; i<=2000; i++) {
        b[i]=0;
        for(int j=0; j<=i; j++)
            b[i]=(b[i]+a[i][j])%c;
    }
    cout<//10.错排公式
//D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))，D(1)=0,D(2)=1
int CuoPai(int n) {
    ll a[55]= {0,0,1,2},i;
    for(i=3; i<=n; i++)
        a[i]=(i-1)*a[i-1]+(i-1)*a[i-2];
    return a[n];
}
//11.三角形计数
//从1~n任意选择三个数，并且保证三边长能够组成三角形
//0,1,3,7,13,22,34,50,70,95,125,161,203,252,308,372,444
void TC(int n) {
    ll a[maxn];
    a[3]=0;
    for(i=4; i1]+((i-1)*(i-2)/2-(i-1)/2)/2;
    cout<//12.折线分割平面
void ZC(int n) {
    ll a[maxn];
    a[1]=0;
    for(int i=2; i<10005; i++)
        a[i]=a[i-1]+4*(i-1)+1;
    cout<//13.涂色问题
//有M（m>=2）个区域，如果给你n(n>=3)种颜色，给这m个区域涂色，要求相邻的区域颜色不能一样
//f(m)=(-1)^m*(n-1)+(n-1)^m
ll TS(int n,int m) {
    return pow(-1,m)*(n-1)+pow(n-1,m);
}
//14.骨牌铺方格
//二维: f(n)=f(n-1)+f(n-2)
//三维: f(n)=3*f(n-2)+2*(f(n-4)+...+f(2))
//(n为偶数，且f(0)=1,f[2]=3)
void Fib3(int n) {
    int a[25],sum=0;
    a[0]=0,a[1]=1;
    for(int i=2; i<=24; i++) {
        sum=sum+a[i-2];
        a[i]=3*a[i-1]+2*sum;
    }
    if(n%2==1)
        cout<<0<else
        cout<2+1]<//15.切西瓜问题
//2,3,5,8,12,17,23,30,38,47,57,68
int XC(int n) {
    return (n*n-n+4)/2;
}
void TC(int n) {
    ll a[maxn];
    a[3]=0;
    for(i=4; i1]+((i-1)*(i-2)/2-(i-1)/2)/2;
    cout<//16.Lucas定理(组合数取模)+费马小定理
//Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)
ll PowMod(ll a,ll b,ll MOD) {
    ll ret=1;
    while(b) {
        if(b&1) ret=(ret*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll fac[100005];
ll Get_Fact(ll p) {
    fac[0]=1;
    for(int i=1; i<=p; i++)
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%p;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p) {
    ll ret=1;
    while(n&&m) {
        ll a=n%p,b=m%p;
        if(areturn 0;
        ret=(ret*fac[a]*PowMod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ret;
}
//17.n^n的个位数
int FGC(int n) {
    int data[10][4]= {{0,0,0,0},{1,1,1,1},{6,6,4,4},{3,3,7,7},{6,4,6,4},{5,5,5,5,},{6,6,6,6},{7,7,3,3},{6,6,4,4},{1,9,1,9}};
    return data[n%10][n%4];
}
//18.分数a/b化为小数后，小数点后第n位的数字是多少
//公式 (a*10^(n-1)%b)*10/b
int ADB(int a,int b,int n) {
    ll c=((a%b)*(power(10,n-1,b)))%b;
    return c*10/b;
}
//19.判断组合数C(n,m)的奇偶性
//当n&m==m为奇数，反之就是偶数
//20.斯特林公式 n!≈sqrt(2πn)(n/e)^n
// n!有多少位
int STLC(int n) {
    return log10(sqrt(2*Pi*n))+n*log10(n/e)+1;
}
//21.逆序数
int a[MAXN],temp[MAXN];
LL ans=0;
int n;
void merge(int le,int mid,int ri){
    int i,j,k;
    i=le;j=mid+1;k=le;
    for(;i<=mid&&j<=ri;){
        if(a[i]>a[j]){
            temp[k++]=a[j++];
            ans+=mid-i+1;
        }else  temp[k++]=a[i++];
    }
    while(i<=mid) temp[k++]=a[i++];
    while(j<=ri) temp[k++]=a[j++];
    for(i=le;i<=ri;i++) a[i]=temp[i];
}
void merge_sort(int le,int ri){
    if(leint  mid=(le+ri)>>1;
        merge_sort(le,mid);
        merge_sort(mid+1,ri);
        merge(le,mid,ri);
    }
}
//求逆元
typedef  long long ll;  
void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){  
    if(!b){ d=a; x=1; y=0;}  
    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }  
}  
ll inverse(ll a,ll n){  
    ll d,x,y;  
    extgcd(a,n,d,x,y);  
    return d==1?(x+n)%n:-1;  
}