NOIP--细胞分裂(唯一分解定理)

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家。现在,他正在为一个细胞实验做准备工作:培养细胞样本。

Hanks 博士手里现在有 N 种细胞,编号从 1~N,一个第 i 种细胞经过 1 秒钟可以分裂为Si个同种细胞(Si为正整数)。现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿,让其自由分裂,进行培养。一段时间以后,再把培养皿中的所有细胞平均分入 M 个试管,形成 M 份样本,用于实验。Hanks 博士的试管数 M 很大,普通的计算机的基本数据类型无法存储这样大的M 值,但万幸的是,M 总可以表示为 m1的 m2次方,即M = m1^{m2}M=m1m2 ,其中 m1,m2均为基本数据类型可以存储的正整数。

注意,整个实验过程中不允许分割单个细胞,比如某个时刻若培养皿中有 4 个细胞,

Hanks 博士可以把它们分入 2 个试管,每试管内 2 个,然后开始实验。但如果培养皿中有 5个细胞,博士就无法将它们均分入 2 个试管。此时,博士就只能等待一段时间,让细胞们继续分裂,使得其个数可以均分,或是干脆改换另一种细胞培养。

为了能让实验尽早开始,Hanks 博士在选定一种细胞开始培养后,总是在得到的细胞“刚好可以平均分入 M 个试管”时停止细胞培养并开始实验。现在博士希望知道,选择哪种细胞培养,可以使得实验的开始时间最早。

输入输出格式

输入格式:

第一行有一个正整数 N,代表细胞种数。

第二行有两个正整数 m1,m2,以一个空格隔开,即表示试管的总数 M = m1^m2。

第三行有 N 个正整数,第 i 个数 Si表示第 i 种细胞经过 1 秒钟可以分裂成同种细胞的个数。

输出格式:

输出文件 cell.out 共一行,为一个整数,表示从开始培养细胞到实验能够开始所经过的最少时间(单位为秒)。

如果无论 Hanks 博士选择哪种细胞都不能满足要求,则输出整数-1。

输入输出样例

输入样例#1:  复制
1 
2 1 
3
输出样例#1:  复制
-1
输入样例#2:  复制
2
24 1
30 12
输出样例#2:  复制
2

说明

【输入输出说明】

经过 1 秒钟,细胞分裂成 3 个,经过 2 秒钟,细胞分裂成 9 个,……,可以看出无论怎么分裂,细胞的个数都是奇数,因此永远不能分入 2 个试管。

【输入输出样例2 说明】

第 1 种细胞最早在3 秒后才能均分入24 个试管,而第2 种最早在2 秒后就可以均分(每试管144/(241)=6 个)。故实验最早可以在2 秒后开始。

【数据范围】

对于 50%的数据,有m1^m2 ≤ 30000。

对于所有的数据,有1 ≤N≤ 10000,1 ≤m1 ≤ 30000,1 ≤m2 ≤ 10000,1 ≤ Si ≤ 2,000,000,000。

题解:对于m1^m2,可进行质因子分解,m1=p1^e1*p2^e2*......*pt^et,则m1^m2=p1^(e1*m2)*p2^(e2*m2)*......*pt^(et*m2).。则对于每一个si,必须有所有的m1的质因子与其对应,否则绝对不可能出现m1的倍数,对于si的每一个因子,找到一个t使得e1*t<=e1*m1(前面的e1是si的因子的指数,后面的e1是m1的因子的指数),t向上取正,因为si多出来的指数可以放到前面去当系数(每个瓶子多放一些细胞),所以对于si要记录其每个指数的t的最大值,最终找到这些最大值的最小值即可,代码如下:

#include
#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define FAST_IO ios::sync_with_stdio(false)
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int MAX=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
using namespace std;
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
inline ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
inline ll qpow(ll a,ll b){ll r=1,t=a; while(b){if(b&1)r=(r*t)%mod;b>>=1;t=(t*t)%mod;}return r;}
inline ll inv1(ll b){return qpow(b,mod-2);}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;return a;}ll r=exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;return r;}
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';return x*f;}

ll s[10005],prime[1000005],vis[1000005],len;
void primeall()
{
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
        if(vis[i]==0)
        {
            prime[++len]=i;
            for(int j=i+i;j<=1000000;j+=i)
                vis[j]=1;
        }
}

struct node
{
    ll num,cot;
};

node yinzi[100005];
int f[10001];
int main()
{
    primeall();
    int n;
    ll m1,m2,lle=0;
    cin>>n;
    cin>>m1>>m2;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&s[i]);

    int cot;
    for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=m1;i++)
    {
        cot=0;
        while(m1%prime[i]==0)
        {
            m1/=prime[i];
            cot++;
        }
        if(cot)
        {
            yinzi[++lle].num=prime[i];
            yinzi[lle].cot=cot*m2;
        }
    }
    if(m1>1)
    {
        yinzi[++lle].num=m1;
        yinzi[lle].cot=m2;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=lle;j++)
        {
            if(s[i]%yinzi[j].num!=0)
            {
                f[i]=150000;
                break;
            }
            else
            {
                int c=1;
                ll num=yinzi[j].num;
                while(s[i]%(yinzi[j].num*num)==0)
                {
                    c++;
                    num*=yinzi[j].num;
                }
                int an=(yinzi[j].cot-1)/c+1; //向上取正ceil
                if(an>f[i]) f[i]=an;
            }
        }
    }
    ll ans;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        if (ans > f[i])
            ans=f[i];

    if (ans == 150000)
        printf("-1\n");
    else
        printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}

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