正交群O(n,R)是紧集的证明

1 一般线性群$GL(n,\mathbb{R})$上拓扑的构造

1.1矩阵范数与度量空间

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我们普遍熟悉度量空间${\mathbb{R}}^n$的代数结构和拓扑结构.${\mathbb{R}}^n$上每一个元素都是一个n元有序对$x=(x_1,\cdots ,x_n)$,称之为向量。可以在${\mathbb{R}}^n$上规定度量：$$d(x,y)=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_k-y_k{)}^2}$$

使得${\mathbb{R}}^n$成为一个度量空间。任意给定一个向量$x_0$,我们称向量$x_0$的半径为$ϵ$的邻域为集合$B(x_0,ϵ)=\{x|d(x,x_0)<ϵ\}$。指定${\mathbb{R}}^n$的子集族${\tau }_d=\{U|U$为${\mathbb{R}}^n$若干邻域的并$\}$,从而${\tau }_d$成为${\mathbb{R}}^n$上的拓扑。给出拓扑后${\mathbb{R}}^n$成为一个度量拓扑空间。

域F上的$m\times n$矩阵本质上是$m\times n$个元素的某种"有序集合"，如果我们将矩阵每行元素依次放进一个有序元组中，就得到了${\mathbb{R}}^{mn}$的一个向量。一个清楚的办法就是将$m\times n$矩阵同的一个向量等同起来：
$$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}\to x=(x_{11},\cdots ,x_{1n},\cdots ,x_{m1},\cdots ,x_{mn})$$

这样我们便可以将矩阵空间$M_{m\times n}(\mathbb{R})$看作是线性空间${\mathbb{R}}^{mn}$,并且将度量拓扑空间${\mathbb{R}}^{mn}$的代数结构和拓扑结构都整体迁移到矩阵空间上。

1.1.1矩阵空间的F-范数与诱导拓扑

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我们将矩阵空间看成度量拓扑空间${\mathbb{R}}^{mn}$后，可以给出矩阵空间的一个度量:
$$d(\mathbf{A},\mathbf{B})=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n(x_{ij}-y_{ij}{)}^2}$$
这个度量恰好可以给出矩阵的F-范数
$$||\cdot ||:M_{m\times n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$$

它满足以下几条性质:

• $||\mathbf{A}||⩾0$,当且仅当$\mathbf{A}=0$时$||\mathbf{A}||=0$;
• $||a\mathbf{A}||=|a|||\mathbf{A}||$;
• $||\mathbf{A}+\mathbf{B}||⩽||\mathbf{A}||+||\mathbf{B}||$;
• $||\mathbf{A}\mathbf{B}||⩽||\mathbf{A}||\cdot ||\mathbf{B}||$.

然后我们给出本节的最重要的结论：

结论1.1: 矩阵空间可以看成是拓扑空间${\mathbb{R}}^{mn}$,其上的诱导拓扑是${\mathbb{R}}^{mn}$的度量拓扑.
马上可以得到以下两个结论：
结论1.2: 一般线性群作为矩阵空间$GL(n,\mathbb{R})$可以看成是拓扑空间${\mathbb{R}}^{n^2}$.
结论1.3: 正交群$O(n,\mathbb{R})$可以看成是拓扑空间$GL(n,\mathbb{R})$的子空间，拓扑是诱导的度量子拓扑.

1.1.2度量拓扑空间${\mathbb{R}}^n$的紧致性质

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这里给出它的一些性质,文献 ¹给出了这些性质的证明：

• 度量拓扑空间${\mathbb{R}}^n$本身不是紧致的，但是局部紧致的.
• 度量拓扑空间的紧致子集是有界闭子集,反之不一定成立;
• 度量拓扑空间${\mathbb{R}}^n$中的单位球面$S^{n-1}$是紧致子集。

想要直接证明正交群$O(n,\mathbb{R})$是紧致的，可以证明其列紧性(每个矩阵序列都有收敛子序列),或者证明紧致性(它在${\mathbb{R}}^{n^2}$上每个开覆盖都有有限子覆盖)。
在不清楚它的结构的情况下直接证明或许无从下手，这时的我们需要另辟蹊径寻找新方法。

一个思路便是：寻找$O(n,\mathbb{R})$到${\mathbb{R}}^{n^2}$的某个有界闭集的嵌入映射，然后再证明其紧致性。为此我们需要研究正交矩阵的具体形式。

2 正交群$O(n,\mathbb{R})$中矩阵的一般表达式

2.1 两个引理

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由于正交变换和正交矩阵的等价性，我们可以研究正交变换在标准正交基下的矩阵表示来获得正交矩阵的一般表达式。参考文献²给出了以下引理的证明。

引理2.1. 所有二阶正交矩阵形如
$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$$

引理2.2. 设V是实数域上的n维线性空间，则V上任意线性变换$\sigma$都有一维或二维不变子空间。

2.2 正交变换的标准矩阵表示

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定理2.1. 设$\sigma$是n维欧几里得空间V上的正交变换，则存在V的一个标准正交基，使得这个线性变换在这个基下的矩阵具有如下形式
$$\begin{array}{c}\mathbf{d}\mathbf{i}\mathbf{a}\mathbf{g}\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r,\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_1& -\sin {\theta }_1\\ \sin {\theta }_1& \cos {\theta }_1\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_m& -\sin {\theta }_m\\ \sin {\theta }_m& \cos {\theta }_m\end{array}\right)\},\\ {\lambda }_j=\pm 1,i=1,\cdots ,r,0<{\theta }_j<\pi ,j=1,\cdots ,m,0\le m\le \frac{n}{2}\end{array}$$

证明
对维数n作数学归纳法

1. 当$n=1$时，对于欧几里得空间V中任何一个向量$\eta$，易知$V=<\eta >$。此时设线性变换$\sigma$的特征值为k,则$\sigma (\eta )=k\eta$，由于$\sigma$是正交变换，它保持向量的模长。从而有$|\sigma (\eta )|=|k\eta |=|\eta |$。这说明$|k|=1$，$\sigma$在基$\{\eta \}$下的矩阵为$(1)$或者是$(-1)$，命题为真。
2. 当$n=2$时，由引理2.1.知，命题为真。
3. 假设当维数小于n时命题为真。考虑n维欧几里得空间V上的正交变换$\sigma$。分$\sigma$有无特征值有以下两种情况：
   $(1)$设$\sigma$有特征值${\lambda }_1=1$或$-1$，则对应于这个特征值取它的一个单位特征向量$\eta$,将欧几里得空间分为$<\eta >$和它的正交补$<\eta {>}^{\perp }$的直和:$V=<\eta >⨁<\eta {>}^{\perp }$。那么正交变换$\sigma$限制在子空间$<\eta {>}^{\perp }$上仍然是正交变换。由于$\dim <\eta {>}^{\perp }=n-1$，由归纳假设知存在$<\eta {>}^{\perp }$上的标准正交基$\{\eta {\}}_{k=2}^n$使得$\sigma |<\eta {>}^{\perp }$在这个基下的矩阵为定理表述的分块对角矩阵。从而$\sigma$在基$\{\eta {\}}_{k=1}^n$下的矩阵正好就是定理所述类型矩阵。
   $(2)$若$\sigma$没有特征值，但在复数域上有特征根。由引理2.2.知，线性变换$\sigma$有一个二维不变子空间U，那么正交变换$\sigma$在不变子空间U上的限制$\sigma |U$是2维欧几里得空间的正交变换，根据引理2.1.知此时存在U的标准正交基${\xi }_1,{\xi }_2$使得$\sigma |U$在这个基下的矩阵为：
   $$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
   将欧几里得空间V分解成U和U的正交补的直和：$V=U⨁U^{\perp }$,那么$\dim U^{\perp }=n-2$,再次利用归纳假设，存在$U^{\perp }$上的标准正交基$\{\xi {\}}_{k=3}^n$使得$\sigma |U^{\perp }$在这个基下的矩阵为定理所述矩阵，因此可以得到$\sigma$在标准正交基$\{\xi {\}}_{k=1}^n$为:
   $$\mathbf{d}\mathbf{i}\mathbf{a}\mathbf{g}\{\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_1& -\sin {\theta }_1\\ \sin {\theta }_1& \cos {\theta }_1\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_m& -\sin {\theta }_m\\ \sin {\theta }_m& \cos {\theta }_m\end{array}\right)\}$$综上所述，对于任意n维欧几里得空间命题都成立。证毕

3 主要结论的证明

3.1 正交矩阵的F-范数

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结论3.1. 任意n阶正交矩阵的F-范数为$\sqrt{n}$

证明： 只需要对定理2.1的标准形式求F-范数立刻得到：$||\mathbf{A}||=\sqrt{r+2m}=\sqrt{n}$.

3.2 主要结论

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因为正交矩阵的在诱导拓扑下的度量模长是常数$\sqrt{n}$，那么可以找到正交群$O(n,\mathbb{R})$到度量空间${\mathbb{R}}^{n^2}$上的紧致球面$S=\{x:||x|{|}^2=n\}$的嵌入映射，这样便说明了$O(n,\mathbb{R})$在诱导拓扑意义下是有界闭集，这证明了主要结论:

定理3.2 正交群$O(n,\mathbb{R})$是在赋诱导拓扑意义下是紧致空间。

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1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997-11 ↩︎

2. 丘维声，高等代数（下册）-大学高等代数课程创新教材，清华大学出版社2010-10 ↩︎