（十二）动态规划--01背包

贼，夜入豪宅，可偷之物甚多，而负重能力有限，偷哪些才更加不枉此行（价值）？

抽象的话，就是：

给定一组多个（）物品，每种物品都有自己的重量（）和价值（），在限定的总重量/总容量（）内，选择其中若干个（也即每种物品可以选0个或1个），设计选择方案使得物品的总价值最高。

 更加抽象的话：

给定正整数、给定正整数，求解0-1规划问题：

 ， s.t.  ，  。（在限重情况下，价值最大，其中物品不可切割）

表达式中各个符号的具体含义：

定义子问题  为：在前  个物品中挑选总重量不超过  的物品，每种物品至多只能挑选1个，使得总价值最大；这时的最优值记作  ，其中  ，  。

考虑第  个物品，无外乎两种可能：选，或者不选。

• 不选的话，背包的容量不变，改变为问题  ；
• 选的话，背包的容量变小，改变为问题  。

最优方案就是比较这两种方案，哪个会更好些：

 。

https://blog.csdn.net/sinat_34022298/article/details/77653693    对这个转移公式进行讲解，这里简单说明

动态规划是“全局最优解包含局部最优解”，所以要求最终的要m(n,c)要求出这个数组之前的数据

假设容量C=3  体积：5  4  3

d(i,j)：前i个宝石转到剩余体积为j的背包中能达到的最大价值

d(2,7) --d(3,10)

若放入3号，则d(2,10-3)+12=d(2,7)+12

若不放3号，则d(2,10)

然后考虑max即可

“填二维表”的动态规划方法

当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

思路厘清后，开始编程序，Java代码如下所示

import java.util.*;

public class test {

    public static int getMaxValue(int[] weight, int[] value, int w, int n) {
        int[][] table = new int[n + 1][w + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) { //物品
            for (int j = 1; j <= w; j++) {  //背包大小
                if (weight[i] > j) {        
                        //当前物品i的重量比背包容量j大，装不下，肯定就是不装
                    table[i][j] = table[i - 1][j];
                    // System.out.print(table[i][j]+ " ");
                } else { //装得下，Max{装物品i， 不装物品i}
                    table[i][j] = Math.max(table[i - 1][j], table[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
                    //System.out.print(table[i][j]+ " ");
                }
            }
            // System.out.println();
        }
        return table[n][w];
    }

    public static void main(String[] args) {

        int n = 5, w = 10;                    //物品个数，背包容量
        int[] value = {0, 6, 3, 5, 4, 6};     //各个物品的价值
        int[] weight = {0, 2, 2, 6, 5, 4};    //各个物品的重量
        System.out.println(getMaxValue(weight,value,w,n));

    }
}