数论概论读书笔记 39.斐波那契与线性递归序列

斐波那契与线性递归序列

比内公式 斐波那契序列 Fn F n 用递归公式描述如下：

F1=F2=1，Fn=Fn−1+Fn−2，n=3,4,5,... F 1 = F 2 = 1 ， F n = F n − 1 + F n − 2 ， n = 3 , 4 , 5 , . . .

则斐波那契序列的第 n n 项可用公式

Fn=15–√{(1+5–√2)n−(1−5–√2)n} F n = 1 5 { ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n }

给出。

斐波那契序列模m

对 m=2,3,4,5,6... m = 2 , 3 , 4 , 5 , 6... 进行尝试，会发现在每一种情形下斐波那契数列最后都开始循环。

即，当计算斐波那契序列模 m m 时，最后总会发现两个连续的1出现，然后序列开始循环。

即，存在整数 N≥1 N ≥ 1 使得， Fn+N≡Fn (mod m) F n + N ≡ F n   ( m o d   m ) 对所有的 n=1,2,... n = 1 , 2 , . . .

最小的这样的整数 N N 叫做斐波那契序列模 m m 的周期，记为 N(m) N ( m ) 。