中国剩余定理及其拓展学习笔记

中国剩余定理:

大概就是有这么一个问题:

xc1(mod p1)xc2(mod p2)xcn(mod pn) { x ≡ c 1 ( m o d   p 1 ) x ≡ c 2 ( m o d   p 2 ) … x ≡ c n ( m o d   p n )

保证 pi p i 之间都互质,然后让你求 x x 。古人给了我们一种巧妙的方法,那就是构造答案,如果我们能够求出分别满足每一个方程的 x x ,即 xci(mod pi) x ≡ c i ( m o d   p i ) (用拓展欧几里得来求解),并且保证这个 x x 是其他所有的模数的倍数的话,那么我们只要把这 n n x x 相加就好了,这时我们会发现,正是因为 pi p i 之间互质,才可以使得这个巧妙的构造方法得以实现。

拓展中国剩余定理:

但是题目有时候并不是保证 pi p i 互质的,所以我们要用拓展中国剩余定理。虽然说和中国剩余完全不同,但是还是叫了这个名字。这里采用合并同余方程的方法来求解。原式可以做如下变形:

{x=c1+k1p1x=c2+k2p2 { x = c 1 + k 1 ∗ p 1 x = c 2 + k 2 ∗ p 2

其中 k1,k2 k 1 , k 2 可以看做是两个变量,然后为了让 x x 满足条件,我们来寻找 k1,k2 k 1 , k 2 之间的关系:
c1+k1p1=c2+k2p2  k1p1=k2p2+c2c1 c 1 + k 1 ∗ p 1 = c 2 + k 2 ∗ p 2     k 1 ∗ p 1 = k 2 ∗ p 2 + c 2 − c 1
由于我们要求的是整数解,显然有解的条件是 gcd(p1,p2)|(c2c1) gcd ( p 1 , p 2 ) | ( c 2 − c 1 ) ,设 d=gcd(p1,p2) d = gcd ( p 1 , p 2 ) ,将两边同时除以 d d 之后即可以转化为同余方程直接乘以一个逆元之后将 k1 k 1 放在等式的左边。
k1p1d=k2p2d+c2c1dk1p1dc2c1d(mod  p2d)k1c2c1dinv(p1d)(mod  p2d)k1=c2c1dinv(p1d)+yp2d k 1 ∗ p 1 d = k 2 ∗ p 2 d + c 2 − c 1 d k 1 ∗ p 1 d ≡ c 2 − c 1 d ( m o d     p 2 d ) k 1 ≡ c 2 − c 1 d ∗ i n v ( p 1 d ) ( m o d     p 2 d ) k 1 = c 2 − c 1 d ∗ i n v ( p 1 d ) + y ∗ p 2 d

这个时候我们得到的 k1k2 k 1 和 k 2 的关系同时也得到的 k1 k 1 的表达式,将它带入原方程中得:
x=p1c2c1dinv(p1d,p2d)+c1+yp1p2dxp1c2c1dinv(p1d,p2d)(mod  p1p2d) x = p 1 ∗ c 2 − c 1 d ∗ i n v ( p 1 d , p 2 d ) + c 1 + y ∗ p 1 ∗ p 2 d x ≡ p 1 ∗ c 2 − c 1 d ∗ i n v ( p 1 d , p 2 d ) ( m o d     p 1 ∗ p 2 d )

然后就合并完了,接下来就只要一直合并下去就好了。

/*===========================
 * Auhthor : ylsoi
 * Problem : luogu4777
 * Algodithm : ExCRT
 * Time : 2018.7.22
 * =========================*/
#include

#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("luogu4777.in","r",stdin);
    freopen("luogu4777.out","w",stdout);
}

const int maxm=1e5+10;
int T,n,m;
ll p[maxm],c[maxm];

ll qmul(ll x,ll b,ll mod){
    ll ret=0,base=x%mod,mul=1;
    if(b<0)b*=-1,mul=-1;
    while(b){
        if(b&1)ret=(ret+base)%mod;
        base=(base+base)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret*mul;
}

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){x=1; y=0; return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
    x=y; y=tmp-a/b*y;
    return d;
}

ll get_inv(ll a,ll b){
    ll x,y;
    x/=exgcd(a,-b,x,y);
    return (x%b+b)%b;
}

void work(){
    REP(i,2,m){
        ll d=__gcd(p[1],p[i]),tmp=p[1];
        p[1]=p[1]/d*p[i];
        c[1]=qmul(qmul(tmp,(c[i]-c[1])/d,p[1]),get_inv(tmp/d,p[i]/d),p[1])+c[1];
        c[1]%=p[1];
    }
    c[1]=(c[1]+p[1])%p[1];
    printf("%lld\n",c[1]);
}

int main(){
    File();
    scanf("%d",&m);
    REP(i,1,m)scanf("%lld%lld",&p[i],&c[i]);
    work();
    return 0;
}

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