三角函数公式及工程应用
| 锐角三角函数 | 任意角三角函数 | |
|---|---|---|
| 图形 |
|
|
| 正弦（sin） |
|
|
| 余弦（cos） |
|
|
| 正切（tan或tg） |
|
|
| 余切（cot或ctg） |
|
|
| 正割（sec） |
|
|
| 余割（csc） |
|
|
．
倒数关系：①
；②
；③
商数关系：①
；②
．
平方关系：①
；②
；③
．
公式一：设
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设
为任意角，
与
的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角
与
的三角函数值之间的关系：
公式四：
与
的三角函数值之间的关系：
公式五：
与
的三角函数值之间的关系：
公式六：
及
与
的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
[2] ．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．
以诱导公式二为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
以诱导公式四为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
和差角公式
二角和差公式
证明如图：负号的情况只需要用-
β代替
β即可．cot(
α+
β)推导只需把角
α对边设为1，过程与tan(
α+
β)相同．
三角和公式
和差化积公式
口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差公式
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明：
sin3
a
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3
a
=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得：
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)
五倍角公式
n
倍角公式
应用 欧拉公式：
.
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：
所以
其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而
所以
半角公式
（正负由
所在的象限决定）
万能公式
辅助角公式
证明：
由于
，显然
，且
故有：
其他公式
正弦定理
在任意△
ABC中，角
A、
B、
C所对的边长分别为
a、
b、
c，三角形 外接圆的半径为
R．则有 ：
正弦定理变形可得：
余弦定理
对于如图所示的边长为
a、
b、
c而相应角为
α、
β、
γ的△
ABC，有：
也可表示为：
降幂公式
sin²α=[1-cos(2α)]/2
cos²α=[1+cos(2α)]/2
tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是 正整数幂的 幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。
泰勒级数
泰勒展开式又叫幂级数展开法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…
实用幂级数：
ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
x∈R
x∈R
在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数 不等式、面积等等。
傅里叶级数
傅里叶级数
傅里叶级数又称三角级数
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx