求解查找假币问题实验报告（递归 + 分治）

水文一篇：便于大家借鉴学习。。。

一、 实验目的

1、 理解递归的概念和分治的基本思想
2、 了解适用递归与分治策略的问题类型，并能设计相应的分治策略算法
3、 掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法

二、实验内容

任务：编写一个实验程序查找假币，有n (n>3)个硬币，其中有一个假币，且假币 较轻，采用天平秤重方式找到这个假币，并给出操作步骤。

1. 使用合适且高效算法快速找到假币的位置
2. 编写相应程序能运行找出假币并做设计分析

三、实验原理

首先，直接扫描一遍是可以完成的，但是效率太低，所以可以使用二分分治思想。

1. 退出条件：当begin == end时，此时即为假硬币；当begin == end – 1时，少的一方为假硬币。
2. 普通情况：
   a) 个数为奇数时：划分为三部分,1.begin -> mid – 1, 2.mid + 1 -> end, 3.mid本身。哪边轻就递归解决哪边，若两边相等，则中间的mid为假硬币。
   b) 个数为偶数时：划分两部分：1.begin -> mid，2. mid + 1 -> end。哪边少就递归解决哪边。

四、程序代码

解释：count函数用于计算一个区间的质量。solve函数用来递归解决一个个子问题。

代码如下：

#include 

using namespace std;

const int N = 1e6;
int n;
int a[N];

int count(int begin, int end)
{
     
	int sum = 0;
	for(int i = begin; i <= end; i++) sum += a[i];
	return sum;
}

void solve(int begin, int end)
{
     
	int mid = begin + end >> 1;
	if(begin == end)
	{
     
		cout << a[begin] << endl;
		return;
	}
	if(begin == end - 1)
	{
     
		if(a[begin] < a[end]) cout << a[begin] << endl;
		else cout << a[end] << endl;
		return; 
	}
	if((begin + end) & 1)
	{
     
		if(count(begin, mid) < count(mid + 1, end)) solve(begin, mid);
		else solve(mid + 1, end);
	}else
	{
     
		if(count(begin, mid - 1) < count(mid + 1, end)) solve(begin, mid - 1);
		else if(count(begin, mid - 1) > count(mid + 1, end)) solve(mid + 1, end);
		else {
     
			cout << a[mid] << endl;
			return;
		}
	}
}

int main()
{
     
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
	solve(0, n - 1);
	return 0;	
}

五、实验结果

测试一：

测试二：

六、分析总结

1、 要用掌握一种算法，首先要理解它的思想，就这次实验而言，要理解分治的算法思想，分治要用递归来实现。清楚算法思想后问题就迎刃而解了。还有就是多练习用分治来解决一些实际问题对于更好地掌握分治是有很大帮助的。要掌握它，我还要多练习写这方面的程序。

2、 递归算法是一种通过重复将问题分解为同类的子问题而解决的方法。该算法的思想是很简便，但是计算量很大，计算的效率很低，利用相同类似的迭代和尾递推的算法，效率大大地提高了。而分治算法则是将一个规模为N的问题分解为K个子问题，这些子问题相互独立而且原问题性质相同。求出问题的解，就可以得到原问题的解了。我觉得简单来说就是分目标解决程序问题的一种算法。对硬币问题来说，就是利用其相关的原理，把大的的硬币集合一一分解成小的硬币集合一次次去分解，直到棋盘分解为最小则结束。