素数的筛法,n*long(n)和O(n)的写法


需求:

产生区间[0, N]之间的素数。


最简单的方法是,一个一个套,但是每试探一个数n, 需要枚举sqrt(n)次,所以这种算法的时间复杂度就是O(N*sqrt(N)), 也就是N*N。

那么效率更加高一点的方法是,把每个素数的2,3,4,... x, (x <= sqrt(N)) 倍数筛选出来,留下的就是素数。 该算法效率是 N*log(N)。

void sieveOne(){
	int m = sqrt(N+0.5);
	for(int i=2; i<= m; i++){
		if(!arr[i]){
			for(int j=i*i; j<= N; j+=i){
				arr[j] = 1;
			}
		}
	}
}

其实还有更加高效的算法。 根据因式分解定理,每一个合数都可以分解为 N= p^k*q的形式,又因为每个合数的分解方式是唯一的,所以该算法的效率是O(N)。


void sieveTwo(){
	int p,q;
	int end = sqrt(N+0.5);
	for(p = 2; p!=end; ++p ){
		if(!arr[p]){
			for(q = p; p*q <= N; ++q){
				for(int k= p*q; k<= N; k*=p) arr[k] = 1;
			}
		}
	}
}




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