【题解】洛谷2081 [NOI2012]迷失游乐园

题外话

这道题很久之前听教练讲过，当时觉得太麻烦就没写，后来拾起来的时候就发现自己不会了 QwQ （可能是因为我太菜了吧） ，于是怒肝了两个下午把它弄了出来，中间还出了一次大锅，所以留个博客以作纪念吧

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题面

题面异常简单，就是求一颗基环树上的任意一点往某个方向走到头的路径期望长度。这个一看就是要用某种类似$treeDP$ 的方法处理的（但是我一开始没看出来），所以我们可以先从简单问题入手

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50分——树上dp

我们先考虑没有环的情况，那显然要用树上DP来解决——我们定义两个数组 $up[i]$、$down[i]$ 分别代表从 $i$ 节点向上和向下走到头的期望距离

那么 $down[i]$ 应该是相当好转移的，因为它不牵扯拐弯。做一遍 $dfs$ 然后统计每一个儿子的 $down$ 即可求出 $down[i]$ 了，转移方程用手推一下应该就能出来：
$$down[i]=\frac{{\sum }_{i->j}(down[j]+len(i,j))}{son[i]}$$
这里 $j$ 是 $i$ 的每一个儿子，$len(i,j)$ 表示 $i$ 到 $j$ 这条边的长度，$son[i]$ 表示 $i$ 的儿子数量

但是 $up[i]$ 就有点难搞，因为这条路有可能往上走了几步又拐到向下，而且你还得处理每一个位置拐弯的情况。这就非常麻烦了

我们考虑，如果我们处理出了每一个点的 $down$，然后从上往下 $dp$，那么我们这条路的期望会是什么样子的呢？

我们从这幅图上可以很清楚的看到：这个期望一共涉及两种方向，也就是上面的 $2$ 和 $3 $。

这个 $2$ 就相当于是从$i$ 的父亲 f 出发向下不经过 $i$ 的所有路径的期望，可以表示为 $down[f]\times son[f]-down[i]-len(f,i)$

那如果继续向上，就相当于是从 $f$ 向上随便走，其实就是 $up[f]$了。

所以我们就可以总结出一个计算 $up[i]$ 的公式了：
$$up[i]=len(f,i)+\frac{down[f]\times son[f]-down[i]-len(f,i)+up[f]}{deg[f]-1}$$
这里 $deg[f]$ 表示 $f$ 的度数，也就是这个点连出的边数。容易看出， $deg[f]-1=(son[f]+1)-1=son[f]$。所以直接把分母改写成 $son[f]$ 即可。

最后怎么统计答案呢？参考一下上面那幅图就可以推出：
$$ans=\sum \frac{up[i]+down[i]\ast son[i]}{son[i]+1}$$
那么树上的问题就解决了

（对了我这里少说了一句，其实这样写在洛谷上是可以混过两个基环点的哈哈哈哈）

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100分——基环树特殊处理

既然环上的点不多，只有20个，我们就可以轻松 $dfs$ 找出这些点并把它们用一个类似链表的方式保存起来（就是保存每一个点的下一位和上一位）

然后我们会发现，这个环貌似对环外的 $up$ 和 $down$ 没有任何影响，所以我们就可以对于每一棵小树 $dfs$ 求出 $down$

那么根据刚才的经验，我们就可以通过这个 $down$ 来推算每个点的 $up$了

我们先来说环上的 $up$ 值怎么求：

我们举个例子，如果环上的点是 $1,2,3,4,5$，我们钦定方向为顺时针，那么对于 $1$ 来说走到 $2$ 的可能性就是 $1$。从 $2$ 走到 $3$ 的可能性就是 $\frac{1}{son[2]+1}$，从 $3$ 走到 $4$ 的可能性就是 $\frac{1}{son[3]+1}$ 。。。以此类推

那么我们就可以顺时针逆时针都跑一遍，然后统计答案时除以 2 即可。

表达式不太好看，所以这里就给出一个顺时针的：
$$up[i]=\sum _{j!=i}^{j=nex[i]}(\prod _{k!=j}^{k=nex[i]}\frac{1}{son[k]+1}\times \frac{len(last[j],j)+down[j]\ast son[j]}{son[j]+1})$$
逆时针同理即可。

如果觉得没看懂表达式的话，这里上一段代码和一张图帮助各位理解：

double now=1;
for(int j=nx[x];j!=x;j=nx[j])
{
    if(/**/) //这里其实还有一个特判，请自行推算
        up[x]+=now*(h[j]+down[j]*son[j]/(son[j]+1));
	else /**/;
	now=now/(son[j]+1);
}

这里 $now$ 就是上面的 $\prod \frac{1}{son[k]+1}$，而 $h[i]$ 就是一个预处理的 $len(last[j],j)$。上面所说的特判其实就是从环首走了一圈又回来的状况，请各位自行推算，这里就不再赘述了

还有一个小问题就是如何处理环上各点的儿子的 $up$ 。因为这些点的父节点左右有两条连边，所以这些店需要单独拿出来计算 $up[i]$ ：
$$up[i]=len(f,i)+\frac{down[f]\times son[f]-down[i]-len(f,i)+up[f]\times 2}{deg[f]-1}$$
注意一下这里的 $deg[f]-1̸=son[f]$

统计答案的时候与之前的式子相似，树上的按照树上的统计，环上的就是上面加一个 $up[i]$ ，下面加 $1$ 就行了，也就是下面的这个式子：
$$ans=\sum \frac{up[i]\times 2+down[i]\ast son[i]}{son[i]+2}$$

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还有就是这几个期望计算的时候分母都不能是 $0$ ，所以需要手动加几个特判才行。

好了多的不说了,具体细节请看代码吧：

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code

#include
#include
#include
#define N 100005
using namespace std;
int n,m,flag,nexflag,vis[N],son[N],fa[N],nx[N],h[N],nh[N],tag[N];
double ans,down[N],up[N];
struct nod{
	int to,val;
};
vector<nod> edge[N];
vector<int> lay[N],loop;
void addedge(int u,int v,int w)
{
	edge[u].push_back((nod){v,w});
	edge[v].push_back((nod){u,w});
}
void dfs1(int x)
{
	down[x]=0;
	for(int i=0;i<edge[x].size();i++)
	{
		nod nex=edge[x][i];
		if(!vis[nex.to])
		{
			vis[nex.to]=1;
			fa[nex.to]=x;
			h[nex.to]=nex.val;
			dfs1(nex.to);
			down[x]+=down[nex.to]+nex.val;
			son[x]++;
		}
	}
	if(son[x]>0)
		down[x]/=son[x];
}
void dfs2(int x)
{
	int f=fa[x];
	if(son[f]>1)
	{
		if(!tag[x])
			up[x]=(double)(down[f]*son[f]-down[x]-h[x]+up[f])/(edge[f].size()-1)+h[x];
		else	up[x]=(double)(down[f]*son[f]-down[x]-h[x]+up[f]*2)/(edge[f].size()-1)+h[x];
	}
	else	up[x]=up[f]+h[x];
	for(int i=0;i<edge[x].size();i++)
	{
		nod nex=edge[x][i];
		if(!vis[nex.to])
		{
			vis[nex.to]=1;
			dfs2(nex.to);
		}
	}
}
void dfs3(int x,int pre)
{
	vis[x]=1;
	if(flag!=0)
		return;
	for(int i=0;i<edge[x].size();i++)
	{
		nod nex=edge[x][i];
		if(nex.to!=pre)
		{
			if(vis[nex.to])
			{
				if(flag!=0)	return;
				flag=x;

				nexflag=nex.to;
				fa[nex.to]=x;
				nx[x]=nex.to;
				h[nex.to]=nh[x]=nex.val;
				return;
			}
			if(flag!=0)	return;
			fa[nex.to]=x;
			nx[x]=nex.to;
			h[nex.to]=nh[x]=nex.val;
			dfs3(nex.to,x);
			if(flag!=0)	return;
		}
	}
}
void cl_vis()
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<loop.size();i++)
		vis[loop[i]]=1;
}
int main()
{
	int u,v,w;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>u>>v>>w;
		addedge(u,v,w);
	}
	if(m==n-1)
	{
		vis[1]=1;
		dfs1(1);
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		vis[1]=1;
		dfs2(1);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			ans+=(double)(down[i]*son[i]+up[i])/(son[i]+(fa[i]!=0?1:0));
		printf("%.5f",ans/n);
	}
	else
	{
		dfs3(1,0);
		for(int i=flag;i!=nexflag;i=fa[i])
			loop.push_back(i),vis[i]=1;
		loop.push_back(nexflag);vis[nexflag]=1;
		cl_vis();
		int sz=loop.size();
		for(int i=0;i<sz;i++)
			dfs1(loop[i]);
		for(int i=sz-1;i>=0;i--)
		{
			int x=loop[i];
			double now=1;
			up[x]=0;
			for(int j=nx[x];j!=x;j=nx[j])
			{
				if(nx[j]!=x)
					up[x]+=now*(h[j]+down[j]*son[j]/(son[j]+1));
				else	up[x]+=now*(h[j]+down[j]);
				now=now/(son[j]+1);
			}
			now=1;
			for(int j=fa[x];j!=x;j=fa[j])
			{
				if(fa[j]!=x)
					up[x]+=now*(nh[j]+down[j]*son[j]/(son[j]+1));
				else	up[x]+=now*(nh[j]+down[j]);
				now=now/(son[j]+1);
			}
			up[x]/=2;
		}
		cl_vis();
		for(int i=0;i<sz;i++)
			for(int j=0;j<edge[loop[i]].size();j++)
			{
				nod nex=edge[loop[i]][j];
				if(!vis[nex.to])
					vis[nex.to]=tag[nex.to]=1,dfs2(nex.to);
			}	
		cl_vis();
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(!vis[i])
				ans+=(double)(down[i]*son[i]+up[i])/(son[i]+1);
			else	ans+=(double)(down[i]*son[i]+up[i]*2)/(son[i]+2);
		}
		printf("%.5f",ans/n);
	}
	return 0;
}