【数论】中国剩余定理与扩展中国剩余定理详解

Part. 0 前置知识

• 扩展欧几里得算法；
• 模运算相关知识。

Part. 1 中国剩余定理

中国剩余定理是用于求解形如：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ \dots \\ x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)\end{array}$$

的同余方程组，其中要求$m_1,m_2,\dots ,m_n$两两互质。

考虑用构造的方法去解决这个问题。

令$M={\prod }_{i=1}^n{m}_i$。再令$t_i$为同余方程$t_i\cdot \frac{M}{m_i}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$的最小非负整数解，那么就有特解：

$$x_0=\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot \frac{M}{m_i}\cdot t_i$$

它的通解形式为：

$$x=x_0+k\cdot M$$

特别的，这个方程的最小非负整数解为$(x_0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M+M)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$。

---

接下来说明这个特解是成立的：

【这个部分参考自niiick的博客】我实在太菜了连这东西都推不出来了QAQ…

因为$\frac{M}{m_i}$是除了$m_i$之外的所有的$m_i$的倍数，所以，$\forall k\ne i$，$a_i\cdot \frac{M}{m_i}\cdot t_i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$。

由于$t_i\cdot \frac{M}{m_i}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$，我们乘上$a_i$得到：$a_i\cdot \frac{M}{m_i}\cdot t_i\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$。

故将这个特解代入到每个方程里面去都是成立的。

Part. 2 扩展中国剩余定理

扩展中国剩余定理是用于求解形如：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ \dots \\ x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)\end{array}$$

的同余方程组，其中对$m_1,m_2,\dots ,m_n$没有任何要求。

我们假设已经将前面$k-1$个同余方程合并了，并得到一个特解$x_0$。

令$M={\prod }_{i=1}^{k-1}{m}_i$，考虑与第$k$个方程合并。我们通过同余式的性质可以将这两个方程等价转化为：

$$\{\begin{array}{l}x=M\cdot p+x_0\\ x=m_k\cdot q+a_k\end{array}$$

简单地让两个式子相等起来：

$$m_k\cdot q+a_k=M\cdot p+x_0$$

移一下项：

$$M\cdot p-m_k\cdot q=a_k-x_0$$

然后套用扩展欧几里得算法解这个方程：

若$\gcd (M,m_k)\nmid (a_k-x_0)$则整个方程组无解。

否则我们就选取$p$的最小非负整数解（为了避免精度爆炸），这时我们得到将两个方程合并后的新的特解$x=M\cdot p+x_0$。

于是递推计算下去就可以了。

特别注意： 在实际应用中，为避免精度爆炸，我们可以等价地令$M=\text{lcm}(m_1,m_2,\dots ,m_{k-1})$。

Part. 3 模板题

中国剩余定理

题目来源：洛谷-P3868-[TJOI2009]猜数字

简单分析题意可以得到：

$$\{\begin{array}{l}{b}_1|(n-a_1)\\ b_2|(n-a_2)\\ \dots \\ b_k|(n-a_k)\end{array}$$

将这些化成同余方程组的形式：

$$\{\begin{array}{l}n-a_1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_1)\\ n-a_2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_2)\\ \dots \\ n-a_k\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_k)\end{array}$$

移项过去：

$$\{\begin{array}{l}n\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_1)\\ n\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_2)\\ \dots \\ n\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_k)\end{array}$$

又由于题目已经给定了$b_i$是两两互质的。我们不难发现这是一个符合中国剩余定理的同余方程组，于是直接套板。

直接套用模板是不够的，注意题目中输入的数字可能是负数，且还要乘炸long long。

细节还挺多的。

#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn = 10;

int N;
ll A[Maxn + 5], M[Maxn + 5];

ll ExGCD(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
     
	if(b == 0) {
     
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll g = ExGCD(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return g;
}
ll SlowMul(ll x, ll y, ll mod) {
     
	ll ret = 0;
	while(y) {
     
		if(y & 1) ret = (ret + x) % mod;
		x = (x + x) % mod;
		y >>= 1;
	}
	return ret;
}
ll CRT() {
     
	ll m = 1, x0 = 0;
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		A[i] = (A[i] % M[i] + M[i]) % M[i];
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		m *= M[i];
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
     
		ll x, y;
		ExGCD(m / M[i], M[i], x, y);
		x = (x % M[i] + M[i]) % M[i];
		x0 = (x0 + SlowMul(x * (m / M[i]), A[i], m)) % m;
	}
	return x0;
}

int main() {
     
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d", &N);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		scanf("%lld", &A[i]);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		scanf("%lld", &M[i]);
	printf("%lld\n", CRT());
	return 0;
}

扩展中国剩余定理

题目来源：洛谷-P4777-【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

由于这道题要炸long long，故程序中用了龟速乘来解决这个问题。其实还可以用更为高端的快速乘，但我太菜了 不想打 。。。

#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn = 1e5;

int N;
ll A[Maxn + 5], M[Maxn + 5];

ll ExGCD(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
     
	if(b == 0) {
     
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll g = ExGCD(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return g;
}
inline ll SlowMul(ll x, ll y, ll mod) {
     
	if(y < 0) x = -x, y = -y;
	ll ret = 0;
	while(y) {
     
		if(y & 1) ret = (ret + x) % mod;
		x = (x + x) % mod;
		y >>= 1;
	}
	return ret;
}
ll ExCRT() {
     
	ll m = M[1], x0 = A[1];
	for(int i = 2; i <= N; i++) {
     
		ll x, y;
		ll g = ExGCD(m, M[i], x, y);
		if((A[i] - x0) % g) return -1;
		ll tmp = M[i] / g;
		x = (SlowMul(x, (A[i] - x0) / g, tmp)+ tmp) % tmp;
		x0 += m * x;
		m = m / g * M[i], x0 %= m;
	}
	return x0;
}

int main() {
     
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d", &N);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		scanf("%lld %lld", &M[i], &A[i]);
	printf("%lld\n", ExCRT());
	return 0;
}