离散数学 习题篇 —— k倍区间

题目：

给定一个长度为N的数列A​₁, A₂, ⋯, A_N, 如果其中一段连续的子序列A_i, A_i+1, ⋯, A_j(i≤j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i,j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式:

第一行包含两个整数N和K。(1≤N,K≤100000)
以下N行每行包含一个整数A_i。(1≤A_i≤100000)

输出格式:

输出一个整数，代表K倍区间的数目。

输入样例:

5 2

1

2

3

4

5

输出样例:

6

题解：
题目说是区间 [i, j] 之间的和取模k等于0，问有多少这样的区间。

那么这个区间和怎么求呢？
想一下，从第i个元素加到第j个，就相当于S_j - S_i-1（S_n是区间 [0, n]所有元素的和下同）。那么这个题就变成了（S_j - S_i-1）%k = 0的区间个数。根据同余定理，左边的式子又能化为S_j%k - S_i-1%k = 0.也就是说，S_j%k = S_j-1%k

接下来就是计数了，这里举个例子，统计一下在某个点模除k的值，假设不为0，如果只有一个点模除k不为0， 能够组成一个符合题意的区间么，显然不行，因为只有个点，不能构成一个区间。如果有两个点呢？可以构成1个。 如果有三个点呢？可以构成3个（第一个点和第二个点，第二个点和第三个点，第一个点和第三个点），如果有四个点呢？可以构成6个（第一个和第二个，第二个和第三个，第三个和第四个，第一个和第三个，第一个和第四个，第二个和第四个）
理一下：1对应0，2对应1（0 + 1），3对应3（0 + 1 + 2），4对应6（0 + 1 + 2 + 3）。综上，如果模除k为x的点的个数为n，那么答案就有$\sum _0^n$个。
但这只是一个点的，把所有点的加起来就行了……吧？
不行，刚刚只是模除后不等于0的，还有等于0的情况呢，如果等于零的话，我们再举例看看，还是只是三个点，可以构成第一个和第二个，第二个和第三个，第一个和第三个还有第一个本身，第二个本身，第三个本身，也就是比之前计数多了三个，即在最后的答案中加上等于0的个数。

C++版：

#include 
using namespace std;
const long long MAXN = 1e6 + 10;
int num[MAXN], cnt[MAXN];
int main(int argc, char const *argv[])
{
    long long n, k, ans = 0;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int a;
        cin >> a;
        num[i] = (num[i - 1] + a) % k;
        ans += cnt[num[i]] ++;
    }
    ans += cnt[0];
    cout << ans;
    return 0;
}