HDU 5341 Gcd and Lcm

题意：给你一个N，让你求∑​i=1​n​​∑​j=1​n​​∑​k=1​n​​∑​l=1​n​​lcm(gcd(i,j),gcd(k,l))

参考论文：贾志鹏线性筛

首先，考虑子问题，求这样一个东西：∑​i=1​n​​∑​j=1​n​​[(i,j)=d]

（中括号是一个函数：若其中的命题为真，返回1，否则返回0）

转化一下，就是求1到n/d两两之间互素的数然后再乘以d就是gcd为d的数了。

即：∑​i=1​n​​∑​j=1​n​​[(i,j)=d] = ∑、/123​i=1​n/d​​∑​j=1​n/d​​[(i,j)=1]

那么如题意所说，窝们可以定义一个函数 f(x)=∑、/123​i=1​x​​∑​j=1​x​​[(i,j)=1]

那么对于固定的n，窝们求gcd为x的个数为f(n/x)。

那么问题就变成了

ans=∑、/123​i=1​n​​∑​j=1​n​​lcm(i,j)*f(n/i)*f(n/j)

令p=gcd(i,j)，则ans=∑​p=1​n​​∑​i=1​n/p​​∑​j=1​n/p​​p∗i∗j∗f(n/(i*p))∗f(n/(j*p))[(i,j)=1]

ans=∑​p=1​n​​∑​i=1​n/p​​∑​j=1​n/p​​p∗i∗j∗f(n/(i*p))∗f(n/(j*p))∑​d|gcd(i,j)​​​u(d)

=∑​p=1​n​​∑​i=1​n/p​​∑​j=1​n/p​​p∗i∗j∗f(n/(i*p))∗f(n/(j*p))∑​d|i&&d|j​​​u(d)

其中u(d)表示莫比乌斯函数，然后窝们想方设法将u(d)提到前面来：

=∑​p=1​n​​  p*∑​d​​​u(d)∑​i=1​n/p/d​​   (i*d)*f(n/(i*d*p))∑​j=1​n/p/d​​  (j*d)*f(n/(j*d*p))

可以将ij视为相同的两个东西，同时把d提出来放到前面：

=∑​p=1​n​​  ∑​d​​​u(d)*p*d*d*(∑​i=1​n/p/d​​   i*f(n/(i*d*p)))​2 

然后，利用类似于参考论文中贾志鹏处理的方法，令t=p*d

=∑、/123​t=1​n​​(∑​i=1​n/t​​   i*f(n/(i*t)))​2* t*∑​d|t​​​u(d)*d

h(t)=t*∑​d|t​​​u(d)*d 是一个积性函数，窝们可以用线性筛的思想去O(n)的预处理出所有的h。

g(x)=∑​i=1​x​​  i*f(x/i) 并不是一个积性函数但是x/i一共有大概sqrt(x)种取值。

在这里窝们可以用一种方法处理复杂度为sqrt(x)，详细可以看代码。

那么ans=∑、/123​t=1​n​​g(n/t)​2*h(t)

同理，n/t也是只有sqrt(n)种取值，所以复杂度最大也不超过sqrt(n)*sqrt(n)<=n,最后的复杂度不超过O(n)。

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