（组合数学笔记）Pólya计数理论_Part.1_群的基本概念
文章目录
- Pólya计数理论——问题引入
- 关系——基本概念与性质
-
- 各类关系——定义及表示
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- 二元关系：集合 X X X上的一个二元关系 R R R
- 等价关系:满足自反性、对称性、传递性。
- 表示
- 等价类
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- 定理
- 群——基本概念与性质
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- 定义
- 相关概念
-
- Abel群（交换群）
- 有限群&无限群
- 群 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)的阶
- 群中元素 a a a的整数幂运算
- 群的零元素
- 元素 a a a的周期（阶）
- 一些性质 & 定理
- 子群及其判定
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- 定义
- 判定定理1
- 判定定理2
- 判定定理3
- 判定定理4
- 循环群
- 有限循环群中元素的周期性质
Pólya计数理论——问题引入
很多的计数问题都可以转化成一种组合计数模型，即集合 X X X到集合 C C C的映射计数问题。但由于 X X X或者 C C C上存在某种变换，使得有些映射在这些变换下是等价的。因此对于这类问题就是统计集合 C X C^X CX中不等价映射的个数。
这里记：
集合 C C C中的元素称为颜色，集合 C C C称为颜色集；集合 X X X中的元素称为对象，集合 X X X称为对象集。
C X = { φ ∣ φ : X ↦ C } C^X=\left\{ \varphi | \varphi:X \mapsto C \right\} CX={ φ∣φ:X↦C}
于是集合 X X X到集合 C C C的映射计数问题可以看成是：用 C C C中的颜色对 X X X中的对象进行染色，求在某种变换意义下的不同染色方案数。
由于这部分计数问题需要群的概念作支撑，下面介绍一部分群论的知识（作为计数工具）。
关系——基本概念与性质
各类关系——定义及表示
二元关系：集合 X X X上的一个二元关系 R R R
- 空关系: 空集 ∅ \varnothing ∅
- 全关系: 全集 Ω X = X 2 \Omega_X=X^2 ΩX=X2
- 恒等关系: I X = { ( x , x ) ∣ x ∈ X } I_X=\{(x,\ x)|x\in X\} IX={ (x, x)∣x∈X}
等价关系:满足自反性、对称性、传递性。
- 自反性：对 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X,有 ( x , x ) ∈ R (x,\ x)\in R (x, x)∈R;
- 对称性：若 ( x , y ) ∈ R (x,\ y)\in R (x, y)∈R，则 ( y , x ) ∈ R (y,\ x)\in R (y, x)∈R;
- 传递性：若 ( x , y ) ∈ R (x,\ y)\in R (x, y)∈R且 ( y , z ) ∈ R (y,\ z)\in R (y, z)∈R，则有 ( x , z ) ∈ R (x,\ z)\in R (x, z)∈R。
全关系和恒等关系是等价关系，空关系不是等价关系。
表示
如果 ( x , y ) ∈ R (x,\ y)\in R (x, y)∈R，则称 x x x与 y y y具有关系 R R R, 记为 x R y xRy xRy; 如果 ( x , y ) ∉ R (x,\ y)\notin R (x, y)∈/R，则称 x x x与 y y y不具有关系 R R R, 记为 x R ˉ y x\bar{R}y xRˉy.
若 R R R是 X X X上的等价关系，则 x R y xRy xRy意味着 x x x和 y y y等价，又可记为 x ∼ y x\sim y x∼y，反之，不等价记为 x ≁ y x\not\sim y x∼y .
等价类
设 ∼ \sim ∼是集合 X X X上的一个等价关系，对于 x ∈ X x\in X x∈X，令
[ x ] ∼ = { y ∣ y ∈ X , x ∼ y } [x]_{\sim}=\{y|y\in X, \ x\sim y\} [x]∼={ y∣y∈X, x∼y}
则称 [ x ] ∼ [x]_{\sim} [x]∼是 X X X上由等价关系 ∼ \sim ∼所确定的元素 x x x所在的等价类。 x x x所在的等价类又可简记为： [ x ] [x] [x] 。
关于等价类有如下定理：
定理
设 ∼ \sim ∼是集合 X X X上的一个等价关系，则有:
- ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X,有 x ∈ [ x ] x\in [x] x∈[x];
- ∀ x , y ∈ X \forall x,\ y\in X ∀x, y∈X, 或者 [ x ] = [ y ] [x]=[y] [x]=[y], 或者 [ x ] ⋂ [ y ] = ∅ [x]\bigcap[y]=\varnothing [x]⋂[y]=∅;
- X = ⋃ x ∈ X [ x ] X=\bigcup_{x\in X}[x] X=⋃x∈X[x].
群——基本概念与性质
定义
设 G G G是一个集合， ∘ \circ ∘是集合 G G G上的一个二元运算，如果满足：
- ∀ a , b ∈ G \forall a,\ b\in G ∀a, b∈G, 有 a ∘ b ∈ G a\circ b\in G a∘b∈G;
- ∀ a , b , c ∈ G \forall a,\ b,\ c\in G ∀a, b, c∈G, 有 ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ) (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c) (a∘b)∘c=a∘(b∘c);
- ∃ e ∈ G \exists\ e \in G ∃ e∈G, 使得对 ∀ a ∈ G \forall a\in G ∀a∈G 有 a ∘ e = e ∘ a = a a\circ e=e\circ a=a a∘e=e∘a=a;
- ∀ a ∈ G \forall a\in G ∀a∈G, ∃ b ∈ G \exists b\in G ∃b∈G使得 a ∘ b = b ∘ a = e a\circ b=b\circ a=e a∘b=b∘a=e.
则称 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)是一个群，有时也直接称 G G G为一个群。
元素 e e e称为群 G G G的单位元，满足条件4的元素 b b b称为元素 a a a的逆元，记为 b = a − 1 b=a^{-1} b=a−1.
相关概念
Abel群（交换群）
群 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)中的运算 ∘ \circ ∘可交换，即对于 ∀ a , b ∈ G \forall a, \ b\in G ∀a, b∈G，有 a ∘ b = b ∘ a a\circ b=b\circ a a∘b=b∘a, 则称 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)是交换群或Abel群。
有限群&无限群
G G G是有限集，则称 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)为有限群； G G G是无限集，则称 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)为无限群。
群 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)的阶
集合 G G G中的元素个数称为群 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)的阶。
群中元素 a a a的整数幂运算
约定 a 0 = e a^0=e a0=e（单位元），并对 n ∈ Z + n\in \mathbb{Z}^+ n∈Z+约定 a − n = ( a − 1 ) n a^{-n}=(a^{-1})^n a−n=(a−1)n.
则有： ( a n ) − 1 = ( a − 1 ) n = a − n , ( a n ) m = a n m , a n a m = a n + m (a^n)^{-1}=(a^{-1})^n=a^{-n},\ (a^n)^m=a^{nm}, \ a^na^m=a^{n+m} (an)−1=(a−1)n=a−n, (an)m=anm, anam=an+m.
群的零元素
设 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)是一个群，若 ∃ z ∈ G \exists z\in G ∃z∈G使得对 ∀ a ∈ G \forall a\in G ∀a∈G均有 a z = z a = z az=za=z az=za=z,则称元素 z z z为群 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)的零元素。
元素 a a a的周期（阶）
对群 G G G中某元素 a a a，如果存在最小的正整数 r r r，使得 a r = e a^r=e ar=e，则称数 r r r是元素 a a a的周期或阶，记为 ∣ a ∣ = r |a|=r ∣a∣=r；若不存在这样的最小正整数，则称元素 a a a没有周期（元素 a a a的周期是无限的）。
显然，若 ∣ a ∣ = r |a|=r ∣a∣=r，则 a − 1 = a r − 1 a^{-1}=a^{r-1} a−1=ar−1。
一些性质 & 定理
- 零元若存在，则唯一；
- ∣ G ∣ > 1 |G|>1 ∣G∣>1，则不存在零元；
- 单位元唯一；
- 任何元素的逆元唯一；
- 多个元素运算的逆元： ( a b ⋯ c ) − 1 = c − 1 ⋯ b − 1 a − 1 , ∀ a , b , ⋯ , c ∈ G (ab\cdots c)^{-1}=c^{-1}\cdots b^{-1}a^{-1},\ \forall a,\ b,\ \cdots,\ c\in G (ab⋯c)−1=c−1⋯b−1a−1, ∀a, b, ⋯, c∈G;
- 如果 a b = a c ab=ac ab=ac, 则 b = c b=c b=c ; 如果 b a = c a ba=ca ba=ca, 则 b = c b=c b=c;
- 方程 a x = b ax=b ax=b和 y a = b ya=b ya=b均在 G G G中有唯一解;
- 设 ( G , ∘ ) (G,\circ) (G,∘)是一有限群， ∣ G ∣ = n |G|=n ∣G∣=n，则对 ∀ a ∈ G \forall a\in G ∀a∈G，必存在最小正整数 r ⩽ n r\leqslant n r⩽n使得 a r = e a^r=e ar=e，其中 e e e为 G G G的单位元；
- 设 a ∈ G , ∣ a ∣ = r a\in G,\ |a|=r a∈G, ∣a∣=r，则有: ①正整数 m m m满足 a m = e a^m=e am=e， 当且仅当 r ∣ m r|m r∣m; ② ∣ a ∣ = ∣ a − 1 ∣ |a|=|a^{-1}| ∣a∣=∣a−1∣.
子群及其判定
定义
设 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)是一个群， H H H是 G G G的子集，如果 H H H在运算 ∘ \circ ∘下也是一个群，则称群 ( H , ∘ ) (H,\ \circ) (H, ∘)是群 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)的子群，简称 H H H是 G G G 的子群，记作 H ⩽ G H\leqslant G H⩽G.
判定定理1
H H H是 G G G 的非空子集，则 H H H是 G G G的子群 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ①对 ∀ a , b ∈ H ⇒ a b ∈ H \forall a,\ b \in H \Rightarrow ab\in H ∀a, b∈H⇒ab∈H; （ H H H 关于运算 ∘ \circ ∘ 封闭）②对 ∀ a ∈ H ⇒ a − 1 ∈ H \forall a\in H \Rightarrow a^{-1}\in H ∀a∈H⇒a−1∈H。（ H H H任何元素均存在逆元）
判定定理2
H H H是 G G G 的非空子集，则 H H H是 G G G的子群 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 对 ∀ a , b ∈ H \forall a,\ b\in H ∀a, b∈H有 a b − 1 ∈ H ab^{-1}\in H ab−1∈H.
判定定理3
H H H是 G G G 的非空子集，则 H H H是 G G G的子群 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 对 ∀ a , b ∈ H \forall a,\ b\in H ∀a, b∈H有 a b ∈ H ab\in H ab∈H.
判定定理4
H H H是 G G G 的非空子集，则 H H H是 G G G的子群 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 对 ∀ a , b ∈ H \forall a,\ b\in H ∀a, b∈H,方程 a x = b ax=b ax=b和 y a = b ya=b ya=b在 H H H中有唯一解。
循环群
设 ( G , ∘ ) (G,\ \circ) (G, ∘)是一个群， a ∈ G a\in G a∈G，令 H = { a k ∣ k ∈ Z } H=\{a^k|k\in \mathbb{Z}\} H={ ak∣k∈Z}，则 H ⩽ G H\leqslant G H⩽G，并称 H H H是由 a a a生成的子群， a a a称为 H H H的生成元，记为 H = ⟨ a ⟩ H=\lang a \rang H=⟨a⟩. 群 H = ⟨ a ⟩ H=\lang a\rang H=⟨a⟩也成为循环群。
有限循环群中元素的周期性质
设 G G G是一个群， a ∈ G a\in G a∈G，且 ∣ a ∣ = r |a|=r ∣a∣=r。令 H = ⟨ a ⟩ H=\lang a\rang H=⟨a⟩是一个由 a a a生成的 r r r阶循环群， H = { e , a , a 2 , ⋯ , a r − 1 } H=\{e, \ a,\ a^2,\ \cdots,\ a^{r-1}\} H={ e, a, a2, ⋯, ar−1}，则对满足 1 ⩽ k ⩽ r − 1 1\leqslant k\leqslant r-1 1⩽k⩽r−1的任意正整数 k k k有 ∣ a k ∣ = r / d |a^k|=r/d ∣ak∣=r/d，其中 d = gcd ( k , r ) d=\gcd{(k,\ r)} d=gcd(k, r).