数学之美--分形几何与建筑形式美

分形几何与建筑形式美

作者：林小松 吴越

摘要：本文提出了“分形是超越传统的统一与变化原则的全新的建筑形式美的基本法则”的观点；说明了全息论与分形理论的共同特点是它们都研究物体的自相似关系；引用生物学、地质学、生态学、水文学、天体与地球科学等领域的研究成果，论述了自相似现象在自然界的普遍性；阐述了分形对传统形式美的三点超越：即局部和更大的局部、或者是局部和整体的对称，分形图形的丰富性和不规则性，对人的思维和想象力的启发性；最后论文介绍了三个具有分形意义的著名建筑的实例。

关键词：分形 形式美 全息论 自相似 建筑艺术

1. 引言
建筑艺术与其他艺术形式一个明显不同的特点是，人们不但处身于建筑之外而且通过置身建筑之中———在其中生活、工作和学习———去感受它，鉴赏它，建筑
是人类活动的外壳。相对于其他艺术作品而言，建筑作品耗资巨大，费时费工，不象小摆设、画、壁挂、家具等工艺艺术品一样可任意更换，因此建筑美学是必须十分重视和关注的。
建筑美是一种形式美，建筑的形式美是一个十分古老的话题，从古希腊时代开始，建筑学家与美术家们就一直在探求形式美的规律和原则，产生了诸如均衡与稳定，对比与微差，韵律，比例，尺度，黄金分割等一系列以统一与变化为基本原则的构图手法。而分形几何则是在20 世纪70年代由法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)建立的， 分形理论渗入到艺术领域也就是20年左右的历史（在我国还没有20年）。简单地说，分形艺术是一种在所有尺度上用自相似（图形的部分与整体相似）描述的形状或集合，并具有无限细节结构的艺术流派。
作者通过大量的文献和资料查阅，迄今为止未发现在建筑艺术范围内有分形方面的前人工作。因此正式提出：分形是超越传统的统一与变化原则的全新的建筑形式美的基本法则。

2. 关于分形
“ 分形”一词译于英文Fractal，系分形理论的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot） 于HIDJ 年由拉丁语Frangere，一词创造而成，词本身具有“ 破碎”和“不规则”两个含义。目前关于分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。曼德尔布罗特本人曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的自相似集合，但是该定义失之不够精确和全面。英国数学家Falconer在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为，分形定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看作具有如下所列性质的集合F：

1.F 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。
2.F 是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。
3.F 通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。
4.F 在某种方式下定义的“ 分维数”通常大于! 的拓扑维数。
5. 的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
他的这些观点已为多数人所接受。冯.科赫雪花曲线及康托尔三分集可视作分形的典型例子，这两种曲线的构造过程如图1和图2 所示。

冯.科赫雪花曲线源自1904年冯.科赫对雪花的描述。

图1：雪花曲线生成过程

先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。

图2：康托尔三分集生成过程

康托尔三分集是一个全不连续的紧集，由康托尔（Cantor）在1875年引入。将闭区间［0，1］均分为三段，去掉中间1/3，即去掉开区间[1/3，2/3]，剩下两个闭区间［0，1/3］和［2/3，1］。第二步，将剩下的两个闭区间各自均分为三段，同样去掉中间1/3 的开区间：（1/9，2/9）和（7/9，8/9），这次剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复上述操作，删除每一小闭区间中间的1/3。一直到第8步，不断重复上述操作。

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分形几何, 建筑形式美

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风达 发表于 2011-6-2 17:25:08

3. 分形与全息的共同特性       全息论与分形理论有许多不同的地方，比如：全息论是从信息出发的，它认为任何物质都是由不同层次（级别）的全息元组成的， 每个全息元即局部都包含有整体的信息；而分形对自然现象的研究所注重的是形式的描述，分形几何是研究具有无限精细的结构并在一定意义下自相似图形的几何学。全息论符合中国古老文明的哲学思想，从整体上讲，现代的全息论虽可以属于自然科学的范畴， 但基本没有进入到数理论证的阶段；而分形理论从一开始走的就是西方实证科学的道路，最先建立起来的分形几何就是纯数学的表述。分形几何研究的对象是不规则集合，其结构具有极大的复杂性，而全息论一般不考虑系统的复杂性问题等。       但是，它们却具有一个十分重要的共同的本质特性，即它们都是研究物体的自相似性的。从自相似的特点出发，可以认为，全息论与分形理论具有共同的研究思路。 4. 自相似现象的普遍性       目前，分形理论与全息论的研究已涉及众多的领域，其中包括生物学、地质学、生态学、地理学、气象学、天体与地球科学、地貌学、材料科学等。说明自相似性是存在于这些科学领域所研究的对象中的一种普遍规律。 我国学者张颖清在1985 年提出的生物全息率[3],[4]认为，生物体的全息胚在不同程度上成为整体缩影的现象称为全息现象，生物体中普遍存在着全息现象就叫做生物全息率。生物全息率所揭示的是生物体本身的自相似性。比如植物的叶，一片叶是整株或整枝的缩影，叶形与叶在全株或全枝上分布形式相似。植物的根、茎、花、果都有这种自相似的特征。       地质学是研究地球的成分、构造、起源与演化的科学。其研究对象巨大而复杂，且具有46 亿年的古老历史，研究者们只能通过对不同层次的:局部:的研究来总结出一般的规律，逐步认识地球的整体。多年来地质学家们已在自觉或不自觉的应用全息和分形的理论和方法，获得过不少的成功和突破。例如，彭志忠1985 年[5]在研究Al-Mn准晶体结构模型时曾指出准晶结构具有3个基本特点：有相似性，无平移对称性，结点呈非均匀分布。其相似性表现在将准晶格放大或缩小1.6182n倍时，整个图形的实质不变。这就是说，将准晶体的微粒结构模型作为一个整体，与其局部是相似的，而每一局部又包含了整体的全部特点。       如图3，彭志忠（1985）建立的准晶晶格图，在实验岩石学研究中通过对坩埚大小的试样进行相平衡和热力学的试验来研究数千公里规模的岩基，甚至覆盖整个大洋洋底的火山熔岩的起源和演化规律，只要试样具有代表性，实验条件控制得当，坩埚实验成果就能正确地反映巨大岩体的形成规律，这是无数事实所证明了的。       除此以外，生态全息论[7]认为全息现象普遍存在于生态系统中，生态圈是一个最大的全息生态系统，各子系统在一定程度上都是它的缩影。参考文献[8]提出了一种存在于天体、地球和生物的对数螺线自相似率。宇宙全息统一论的核心理论———宇宙大统一论[9]则认为：宇宙是一个统一的整体，在这个统一体中，各子系与子系、子系与系统、系统与宇宙之间在空间、时间和时空上存在着泛对应性。子系包含了系统的全部信息，是系统的缩影；系统则包含了宇宙的全部信息，是宇宙的缩影。这完全是一幅自相似的全息照片。       以上只是对整个自然界存在的自相似现象的相当局限的列举，是凤毛麟角。实际上通过近些年来众多学者们的努力探索和研究，应该说已经发现大自然中普遍存在着自相似现象，而分形理论和全息论正是揭示这种自相似规律的重要学说。

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风达 发表于 2011-6-2 17:34:15

5. 分形对传统形式美的超越       分形作为建筑形式美的基本法则提出，是因为分形反映了客观世界普遍存在的自相似的规律，正象反映了客观规律的平衡、稳定和对称是建筑形式美的重要原则一样。分形图可以体现出许多传统美学的标准，如平衡、和谐、对称等。但是，分形绝不是传统形式美的翻版，它是对传统形式美的发展、突破和超越。根据作者的理解，分形艺术对形式美传统框架的突破和超越主要体现在三个方面：       5.1 最具特色的一个突破是对称的突破，分形图形的对称既不是左右对称，也不是上下对称或中心对称，而是一种局部和更大的局部、或者是局部和整体的对称。它具有无限精细的结构层次（当然在建筑构图中应用时根据视觉的需要只能精细到有限层次），而无论是哪一个层次的局部都保持着整体的基本形，或者说它的每一个更大的局部或整体都是对更微小的局部的放大，以此获得整个图形的和谐和均衡。       5.2 传统的建筑形式美强调用简单的几何形体来获得明确和肯定的效果，而分形是人们在自然界和社会实践活动中所遇到的不规则事物的一种数学抽象，它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。因而在分形图中更多的是分叉、缠绕、突出、不规整的边缘和丰富的变换，它给我们一种纯真的追求野性的美感，一种未开化的，未驯养过的天然情趣。然而，它却不使我们感到杂乱无章，在它的无限精细的结构层次和无穷的缠绕中，存在着由分维数学所制约的相互关联。综合而言，从分形中我们可以体验到一种狂野的有序美，就象在辽阔的草原上由牧人驱赶着的狂奔的马群。这样的美感是传统的形式美所无法给予的。       5.3 由于分形图形包含着精细的层层嵌套体系，因而画面十分丰富，常能使人感到耳目一新，给人以启迪和联想，能充分发挥人的想象能力。当从不同的尺度和远近距离观看，甚至不同的时间观看，都能发现它的构造单元的变化，从它获得新的感受。正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同1不识庐山真面目，只缘身在此山中”。这种由自相似的层层嵌套结构所提供的变幻人的视觉感受和拓展人的思维空间的特点，也是传统形式美所不具备的。 以下是几张分形作品供大家欣赏：

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风达 发表于 2011-6-3 07:37:24

6.分形在建筑艺术中的应用实例 回顾建筑艺术创作的历史，形式美始终是建筑设计师们执著的追求目标。在古往今来的建筑创作中，有一些建筑师由于不自觉地遵循了分形理论，运用了分形手法，因而获得了杰出的建筑作品。试举三例： 图5 6.1 科隆教堂（图5） 作为全欧洲最高的尖塔，世界第四大教堂的科隆教堂， 它的双尖塔顶高达157.38m，在科隆市区以外就遥遥可见。科隆大教堂动工于1248 年，停停建建，直至1880 年才终于全部完工，整个工程持续了600 多年。除了高达157m 的惊人高度之外，整座建筑东西长144m，南北宽86m，面积相当于一个足球场。建筑本身全部由磨岩的石块砌成，由于年代的久远，表面已呈黑色，更显庄严古朴。这个建筑最显著的特征就是它的双尖塔造型，而它最上部的三层浮雕式的尖顶窗饰在它们彼此之间以及与双尖塔的整体造型之间均形成了明显的自相似的叠套。这种层层叠套的尖顶结构似乎是在向人们发出警示：神权是至高无上的，神也是划分成等级的，而地面上的人则是渺小的，在众神的管辖之下生活在最底层。俨然一幅仙凡系统的全息关系图，极富感染力地启发着人们向往天国的宗教情绪。特别值得一提的是它那高矗的双塔尖的外轮廓并非光滑的曲线，而是象软体动物的棘一样的连续排列的小突出，这一点也与分形图形的特点相似。 图6 6.2 巴黎歌剧院（图6） 巴黎歌剧院在世界上享有盛名。它面积达11000平方米(。可容纳2000 多名观众，450名演员。它屹立在巴黎市中心的奥斯曼大街上，已有!(* 年辉煌的历史。如今为了保护这座建于拿破仑三世的建筑，只在此举行国家级的一些重大演出，平时主要接待游人参观。这座歌剧院在最近进行了装修，新装修的歌剧院保持了原有的风貌，只是外貌更漂亮了。无论从正、侧面看，它都很有气势。整个建筑长达170m，宽125m。正门上“国家音乐院”的一组金色的法文闪闪发光。剧院四周布满了大量巨型的石雕装饰物，都是拿破仑三世时期典型的艺术作品。一条宽大的石阶路向上沿伸，通向两排大理石立柱中的底层一排，正面墙体在此被分成几部分。底层大理石立柱构成了高大的拱洞，粗大的石柱之间有许多组巨型的雕群像。正面第二层由许多高大的大理石双柱构成，而双柱又框出大窗子的轮廓。窗户之上，是一个充满雕饰物的小阁楼状的结构。往上则是一个倒扣的大园层顶。当然，顶端又有几堆华丽高贵的艺术饰物。这绝不仅仅是豪华而已，完全是一间宫殿式的建筑。剧场里面和外面墙体一样雕梁画栋，纪念性台阶布满了大理石饰物，窟窿顶上和天花板上都装点着世界名画。 分形的创始人曼德尔布罗特认为，令人满意的艺术没有特定尺度，因为它含有一切尺度的要素。许多伟大的艺术品都具有这样的特征，如巴黎的艺术宫，它的群雕和怪畜、突角和侧柱、布满旋涡花纹的拱壁和配有檐沟齿饰的飞檐， 都没有尺度，因为它具有每一种尺度。巴黎大剧院也正是这种优秀的建筑艺术作品之一。对这类艺术品观察者从任何距离望去都能看到某种赏心悦目的细节，当你走近时，它的构造就在变化， 展现出新的结构元素。 图7 6.3 悉尼歌剧院（图7） 象一片片白帆在乘风破浪，象一盘浮出水面的白色大贝壳雕塑，象跃出海面的一群海豚在向人们摆尾致意———悉尼歌剧院总能给人以无限的遐想。 悉尼歌剧院从设计到施工完成，共经历14 年之久，终于在1973年10 月建成揭幕，并由英国女王伊丽莎白二世专程赶来剪彩。工程耗资共1.02 亿澳元。悉尼歌剧院全称是澳大利亚全国表演艺术中心。它坐落在悉尼市贝尼朗岬角上紧靠着世界著名的海港大桥的一块小半岛上，三面环海，南端与市内植物园和市府大厦遥遥相望。 这座建筑占地1.84 公顷，长183m，宽118m，高67m，相当于20 层楼的高度。它建在一座很高的混凝土台座上，门前的大台阶宽达90m，用桃红色花岗石铺面，据说是目前世界上最大最长的室外阶梯。 图8 现在悉尼歌剧院已经家喻户晓，成了悉尼市的城市标志， 也是澳大利亚的象征。但是，究竟有多少人知道或想到过，这样一座建筑界的瑰宝，世界建筑文化的奇葩，它那无比生动而极富想象力的白色壳体，却是设计者伍重先生用数学方法得到的。他在直径为150m 的球面上截取了全部10 个三角形，来组成悉尼歌剧院的壳体群（图8）。由于源自同一个圆球面，因此尽管所组成的壳体群灵活多姿，但却万变不离其宗，有着内在的几何协调和一致性，整个构图活而不乱，形成了十分生动的整体造型。这里伍重产生设计构图的方法是大体符合分形艺术的思维规律的，即先有数学的形式描述，后产生图形。而他所组成的壳体群从西立面看过去，左边（ 北面）的3 个主壳体存在着自相似的关系，右边的两组相交的壳体形似两只翩翩起舞的大蝴蝶，这两只“ 大蝴蝶”也存在着自相似关系。当然，这种自相似只是局部和局部之间的，同时还略有变异。 （作者单位：湖南科技大学） 参考文献: 1.谢和平，薛秀谦。分形应用中的数学基础与方法。科学出版社，1997年。 2.万书元。当代西方建筑美学。东南大学出版社，2001年7 月。 3.’张颖清。全息生物学研究。山东大学出版社，1985年1 月。 4.’李进保。生物全息率与古植物学。焦作矿业学院学报，1990年。 5.彭志忠。准晶体的构筑原理及微粒分数维结构模型。地球科学，1985 10 4 。 6.毕先梅，牛新喜，严春杰等。全息理论在地质学中的应用。地球科学，1990 10 5 。 7.王贵学，周黎明，李华荣等。生态全息论初探。西南师范大学学报，1989年2月。 8.彭玉鲸。天体、地球、生物的一种自相似率———对数螺线。吉林地质。 9.李正最。宇宙全息统一论与水文科学。水文水资源。 10.李进保。自然界的自相似性与分形。焦作矿业学院学报，1994 13 。 11.孙博文。电脑分形艺术。黑龙江美术出版社，1999年1 月。 12.刘华杰。分形艺术（电子版）。湖南电子音像出版社，1997 年。 13.张良皋。从悉尼歌剧院论到北京国家大剧院。新建筑，2001年。 13.吴群任。欧洲散记。广州“文联”文化艺术网，*2002* 年10 月3 日， 在线投稿栏。